MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem1 26174
Description: Lemma for psercn 26175. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
Assertion
Ref Expression
psercnlem1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem psercnlem1
StepHypRef Expression
1 psercn.m . . . 4 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
2 psercn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
3 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
4 absf 15289 . . . . . . . . . . . . 13 abs:β„‚βŸΆβ„
54fdmi 6729 . . . . . . . . . . . 12 dom abs = β„‚
63, 5sseqtri 4018 . . . . . . . . . . 11 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
72, 6eqsstri 4016 . . . . . . . . . 10 𝑆 βŠ† β„‚
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
109abscld 15388 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
11 readdcl 11197 . . . . . . 7 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 579 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 12464 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
14 peano2re 11392 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1510, 14syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1713, 16ifclda 4563 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) ∈ ℝ)
181, 17eqeltrid 2836 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
19 0re 11221 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ℝ)
219absge0d 15396 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž))
22 breq2 5152 . . . . . 6 ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) ↔ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))))
23 breq2 5152 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘Ž) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ↔ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))))
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
2524, 2eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
26 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
27 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . 13 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅))))
284, 26, 27mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅)))
2925, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅)))
3029simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅))
31 iccssxr 13412 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
34 pserf.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 26166 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
38 elico2 13393 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)))
3919, 37, 38sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)))
4030, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅))
4140simp3d 1143 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)
4241adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)
43 avglt1 12455 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2)))
4410, 43sylan 579 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2)))
4542, 44mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2))
4610ltp1d 12149 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
4746adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
4822, 23, 45, 47ifbothda 4566 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)))
4948, 1breqtrrdi 5190 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)
5020, 10, 18, 21, 49lelttrd 11377 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 < 𝑀)
5118, 50elrpd 13018 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
52 breq1 5151 . . . 4 ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅))
53 breq1 5151 . . . 4 (((absβ€˜π‘Ž) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅))
54 avglt2 12456 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5510, 54sylan 579 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5642, 55mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅)
5715rexrd 11269 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ*)
5837, 57xrlenltd 11285 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ↔ Β¬ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅))
59 0xr 11266 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
60 pnfxr 11273 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
61 elicc1 13373 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
6259, 60, 61mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
6335, 62sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
6463simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ 𝑅)
66 ge0gtmnf 13156 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ -∞ < 𝑅)
6737, 65, 66syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ -∞ < 𝑅)
68 xrre 13153 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
6968expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝑅) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7037, 15, 67, 69syl21anc 835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7158, 70sylbird 260 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅 β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7271con1d 145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ 𝑅 ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅))
7372imp 406 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅)
7452, 53, 56, 73ifbothda 4566 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅)
751, 74eqbrtrid 5183 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 < 𝑅)
7651, 49, 753jca 1127 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9439  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„+crp 12979  [,)cico 13331  [,]cicc 13332  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433  Ξ£csu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437
This theorem is referenced by:  psercn  26175  pserdvlem1  26176  pserdvlem2  26177  pserdv  26178
  Copyright terms: Public domain W3C validator