MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem1 26173
Description: Lemma for psercn 26174. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
Assertion
Ref Expression
psercnlem1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem psercnlem1
StepHypRef Expression
1 psercn.m . . . 4 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
2 psercn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
3 cnvimass 6079 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
4 absf 15288 . . . . . . . . . . . . 13 abs:β„‚βŸΆβ„
54fdmi 6728 . . . . . . . . . . . 12 dom abs = β„‚
63, 5sseqtri 4017 . . . . . . . . . . 11 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
72, 6eqsstri 4015 . . . . . . . . . 10 𝑆 βŠ† β„‚
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
109abscld 15387 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
11 readdcl 11195 . . . . . . 7 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 578 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 12463 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
14 peano2re 11391 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1510, 14syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1615adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1713, 16ifclda 4562 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) ∈ ℝ)
181, 17eqeltrid 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
19 0re 11220 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ℝ)
219absge0d 15395 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž))
22 breq2 5151 . . . . . 6 ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) ↔ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))))
23 breq2 5151 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘Ž) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ↔ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))))
24 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
2524, 2eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
26 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . 13 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
27 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . 13 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅))))
284, 26, 27mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅)))
2925, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅)))
3029simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅))
31 iccssxr 13411 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
34 pserf.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 26165 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
38 elico2 13392 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)))
3919, 37, 38sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)))
4030, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅))
4140simp3d 1142 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)
4241adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)
43 avglt1 12454 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2)))
4410, 43sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2)))
4542, 44mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2))
4610ltp1d 12148 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
4746adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
4822, 23, 45, 47ifbothda 4565 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)))
4948, 1breqtrrdi 5189 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)
5020, 10, 18, 21, 49lelttrd 11376 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 < 𝑀)
5118, 50elrpd 13017 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
52 breq1 5150 . . . 4 ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅))
53 breq1 5150 . . . 4 (((absβ€˜π‘Ž) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅))
54 avglt2 12455 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5510, 54sylan 578 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5642, 55mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅)
5715rexrd 11268 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ*)
5837, 57xrlenltd 11284 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ↔ Β¬ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅))
59 0xr 11265 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
60 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
61 elicc1 13372 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
6259, 60, 61mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
6335, 62sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
6463simp2d 1141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
6564adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ 𝑅)
66 ge0gtmnf 13155 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ -∞ < 𝑅)
6737, 65, 66syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ -∞ < 𝑅)
68 xrre 13152 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
6968expr 455 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝑅) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7037, 15, 67, 69syl21anc 834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7158, 70sylbird 259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅 β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7271con1d 145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ 𝑅 ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅))
7372imp 405 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅)
7452, 53, 56, 73ifbothda 4565 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅)
751, 74eqbrtrid 5182 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 < 𝑅)
7651, 49, 753jca 1126 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„+crp 12978  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  Ξ£csu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436
This theorem is referenced by:  psercn  26174  pserdvlem1  26175  pserdvlem2  26176  pserdv  26177
  Copyright terms: Public domain W3C validator