MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem1 25807
Description: Lemma for psercn 25808. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
Assertion
Ref Expression
psercnlem1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem psercnlem1
StepHypRef Expression
1 psercn.m . . . 4 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
2 psercn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
3 cnvimass 6037 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
4 absf 15231 . . . . . . . . . . . . 13 abs:β„‚βŸΆβ„
54fdmi 6684 . . . . . . . . . . . 12 dom abs = β„‚
63, 5sseqtri 3984 . . . . . . . . . . 11 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
72, 6eqsstri 3982 . . . . . . . . . 10 𝑆 βŠ† β„‚
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
98sselda 3948 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
109abscld 15330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ)
11 readdcl 11142 . . . . . . 7 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 581 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 12408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
14 peano2re 11336 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1510, 14syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ)
1713, 16ifclda 4525 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) ∈ ℝ)
181, 17eqeltrid 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
19 0re 11165 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ ℝ)
219absge0d 15338 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž))
22 breq2 5113 . . . . . 6 ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) ↔ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))))
23 breq2 5113 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘Ž) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ↔ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))))
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
2524, 2eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
26 ffn 6672 . . . . . . . . . . . . 13 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
27 elpreima 7012 . . . . . . . . . . . . 13 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅))))
284, 26, 27mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅)))
2925, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅)))
3029simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅))
31 iccssxr 13356 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
34 pserf.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 25799 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sselid 3946 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
38 elico2 13337 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)))
3919, 37, 38sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)))
4030, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘Ž) ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅))
4140simp3d 1145 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)
4241adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑅)
43 avglt1 12399 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2)))
4410, 43sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2)))
4542, 44mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2))
4610ltp1d 12093 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
4746adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
4822, 23, 45, 47ifbothda 4528 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)))
4948, 1breqtrrdi 5151 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀)
5020, 10, 18, 21, 49lelttrd 11321 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 < 𝑀)
5118, 50elrpd 12962 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
52 breq1 5112 . . . 4 ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ ((((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅))
53 breq1 5112 . . . 4 (((absβ€˜π‘Ž) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅))
54 avglt2 12400 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘Ž) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5510, 54sylan 581 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5642, 55mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2) < 𝑅)
5715rexrd 11213 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ*)
5837, 57xrlenltd 11229 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ↔ Β¬ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅))
59 0xr 11210 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
60 pnfxr 11217 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
61 elicc1 13317 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞)))
6259, 60, 61mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
6335, 62sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ +∞))
6463simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
6564adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ 𝑅)
66 ge0gtmnf 13100 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ -∞ < 𝑅)
6737, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ -∞ < 𝑅)
68 xrre 13097 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
6968expr 458 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝑅) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7037, 15, 67, 69syl21anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7158, 70sylbird 260 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅 β†’ 𝑅 ∈ ℝ))
7271con1d 145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ 𝑅 ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅))
7372imp 408 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘Ž) + 1) < 𝑅)
7452, 53, 56, 73ifbothda 4528 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1)) < 𝑅)
751, 74eqbrtrid 5144 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 < 𝑅)
7651, 49, 753jca 1129 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜π‘Ž) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β„+crp 12923  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  seqcseq 13915  β†‘cexp 13976  abscabs 15128   ⇝ cli 15375  Ξ£csu 15579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379
This theorem is referenced by:  psercn  25808  pserdvlem1  25809  pserdvlem2  25810  pserdv  25811
  Copyright terms: Public domain W3C validator