Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrgere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrgere 44122
Description: If a real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrgere.xph 𝑥𝜑
supxrgere.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrgere.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supxrgere.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦)
Assertion
Ref Expression
supxrgere (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrgere
StepHypRef Expression
1 supxrgere.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 rexr 11262 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11270 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
5 ltpnf 13102 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
62, 4, 5xrltled 13131 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ +∞)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
9 id 22 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2738 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1110adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
128, 11breqtrd 5174 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
14 1rp 12980 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
15 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑥1
16 supxrgere.xph . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
17 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥1 ∈ ℝ+
1816, 17nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)
19 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦
2018, 19nfim 1899 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
21 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
2221anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
23 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 1))
2423breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
2524rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2622, 25imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
27 supxrgere.y . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦)
2815, 20, 26, 27vtoclgf 3554 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2914, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
3014, 29mpan2 689 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
32 mnfxr 11273 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
34 supxrgere.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3534sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
36353adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 supxrcl 13296 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40 peano2rem 11529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
4241rexrd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
44433ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
4536adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
47 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) < 𝑦)
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
4935adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5032a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
51 xrlenlt 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
5348, 52mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ≤ -∞)
54533adantl3 1168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ≤ -∞)
5544, 45, 46, 47, 54xrltletrd 13142 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) < -∞)
56 nltmnf 13111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ* → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
59583ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
6055, 59condan 816 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦)
6134adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
62 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
63 supxrub 13305 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6461, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
65643adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6633, 36, 39, 60, 65xrltletrd 13142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
67663exp 1119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6867adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑦𝐴 → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6968rexlimdv 3153 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
7031, 69mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
71 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
72 nltpnft 13145 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7338, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7473adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7571, 74mtbid 323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7675notnotrd 133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7770, 76jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7838adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
79 xrrebnd 13149 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8078, 79syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8177, 80mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
82 simpl 483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
83 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
8482simprd 496 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
851ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ)
8684, 85ltnled 11363 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8783, 86mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
88 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝜑)
891adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
90 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9189, 90resubcld 11644 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
9291adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
93 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9490adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9588, 1syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9694, 95posdifd 11803 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
9793, 96mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
9892, 97elrpd 13015 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
99 ovex 7444 . . . . . . . 8 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V
100 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))
101 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+
10216, 101nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
103 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦
104102, 103nfim 1899 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
105 eleq1 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+))
106105anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)))
107 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
108107breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
109108rexbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
110106, 109imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)))
111100, 104, 110, 27vtoclgf 3554 . . . . . . . 8 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
11299, 111ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
11388, 98, 112syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
1141recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
115114ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
11690recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
117116ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
118115, 117nncand 11578 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
119118eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
120 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
121119, 120eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
122121ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ((𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
123122adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
124123reximdva 3168 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
125113, 124mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
12682, 87, 125syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
12761, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12835, 127xrlenltd 11282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
12964, 128mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
130129ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
131 ralnex 3072 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
132130, 131sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
133132ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
134126, 133condan 816 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13513, 81, 134syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13612, 135pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  supcsup 9437  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  *cxr 11249   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446  +crp 12976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-rp 12977
This theorem is referenced by:  suplesup  44128
  Copyright terms: Public domain W3C validator