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Theorem bldisj 24353
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) = ∅)

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1193 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
2 simpr1 1191 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3 simpr2 1192 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
42, 3xaddcld 13320 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
5 xmetcl 24286 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
65adantr 479 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
74, 6xrlenltd 11317 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
81, 7mpbid 231 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))
9 elin 3960 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)))
10 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑃𝑋)
12 elbl 24343 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
1310, 11, 2, 12syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
14 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑄𝑋)
15 elbl 24343 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
1610, 14, 3, 15syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
1713, 16anbi12d 630 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))))
18 anandi 674 . . . . . 6 ((𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
1917, 18bitr4di 288 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))))
2010adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2111adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃𝑋)
22 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
23 xmetcl 24286 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2514adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑄𝑋)
26 xmetcl 24286 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄𝑋𝑥𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2720, 25, 22, 26syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
282adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
293adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
30 xlt2add 13279 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3124, 27, 28, 29, 30syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
32 xmettri3 24308 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋𝑥𝑋)) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)))
3320, 21, 25, 22, 32syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)))
346adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
3524, 27xaddcld 13320 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∈ ℝ*)
364adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
37 xrlelttr 13175 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3933, 38mpand 693 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4031, 39syld 47 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4140expimpd 452 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4219, 41sylbid 239 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
439, 42biimtrid 241 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
448, 43mtod 197 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)))
4544eq0rdv 4406 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3943  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286   +𝑒 cxad 13130  ∞Metcxmet 21286  ballcbl 21288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-bl 21296
This theorem is referenced by:  bl2in  24355  blcld  24463  methaus  24478  metnrmlem3  24826  cntotbnd  37402  heiborlem6  37422
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