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Theorem bldisj 24317
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) = βˆ…)

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1194 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))
2 simpr1 1192 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3 simpr2 1193 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
42, 3xaddcld 13313 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
5 xmetcl 24250 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
74, 6xrlenltd 11311 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄) ↔ Β¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
81, 7mpbid 231 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ Β¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))
9 elin 3963 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
10 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 simpl2 1190 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
12 elbl 24307 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
1310, 11, 2, 12syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
14 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
15 elbl 24307 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1610, 14, 3, 15syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1713, 16anbi12d 631 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆))))
18 anandi 675 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1917, 18bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆))))
2010adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
23 xmetcl 24250 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
26 xmetcl 24250 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2720, 25, 22, 26syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
282adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
293adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
30 xlt2add 13272 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3124, 27, 28, 29, 30syl22anc 838 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
32 xmettri3 24272 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)))
3320, 21, 25, 22, 32syl13anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)))
346adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
3524, 27xaddcld 13313 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
364adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
37 xrlelttr 13168 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*) β†’ (((𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3933, 38mpand 694 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4031, 39syld 47 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4140expimpd 453 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4219, 41sylbid 239 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
439, 42biimtrid 241 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
448, 43mtod 197 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
4544eq0rdv 4405 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280   +𝑒 cxad 13123  βˆžMetcxmet 21264  ballcbl 21266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274
This theorem is referenced by:  bl2in  24319  blcld  24427  methaus  24442  metnrmlem3  24790  cntotbnd  37269  heiborlem6  37289
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