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Theorem bldisj 24424
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) = ∅)

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1195 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
2 simpr1 1193 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3 simpr2 1194 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
42, 3xaddcld 13340 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
5 xmetcl 24357 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
74, 6xrlenltd 11325 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
81, 7mpbid 232 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))
9 elin 3979 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)))
10 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑃𝑋)
12 elbl 24414 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
1310, 11, 2, 12syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
14 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑄𝑋)
15 elbl 24414 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
1610, 14, 3, 15syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
1713, 16anbi12d 632 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))))
18 anandi 676 . . . . . 6 ((𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))
1917, 18bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))))
2010adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃𝑋)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
23 xmetcl 24357 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑄𝑋)
26 xmetcl 24357 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄𝑋𝑥𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2720, 25, 22, 26syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
282adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
293adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
30 xlt2add 13299 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3124, 27, 28, 29, 30syl22anc 839 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
32 xmettri3 24379 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋𝑥𝑋)) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)))
3320, 21, 25, 22, 32syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)))
346adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
3524, 27xaddcld 13340 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∈ ℝ*)
364adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
37 xrlelttr 13195 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3933, 38mpand 695 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4031, 39syld 47 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4140expimpd 453 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4219, 41sylbid 240 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
439, 42biimtrid 242 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
448, 43mtod 198 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)))
4544eq0rdv 4413 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   +𝑒 cxad 13150  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  bl2in  24426  blcld  24534  methaus  24549  metnrmlem3  24897  cntotbnd  37783  heiborlem6  37803
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