| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpr3 1197 | . . . 4
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄)) | 
| 2 |  | simpr1 1195 | . . . . . 6
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑅 ∈
ℝ*) | 
| 3 |  | simpr2 1196 | . . . . . 6
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑆 ∈
ℝ*) | 
| 4 | 2, 3 | xaddcld 13343 | . . . . 5
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈
ℝ*) | 
| 5 |  | xmetcl 24341 | . . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈
ℝ*) | 
| 6 | 5 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑃𝐷𝑄) ∈
ℝ*) | 
| 7 | 4, 6 | xrlenltd 11327 | . . . 4
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑅 +𝑒 𝑆) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 8 | 1, 7 | mpbid 232 | . . 3
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) | 
| 9 |  | elin 3967 | . . . 4
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))) | 
| 10 |  | simpl1 1192 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) | 
| 11 |  | simpl2 1193 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑃 ∈ 𝑋) | 
| 12 |  | elbl 24398 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))) | 
| 13 | 10, 11, 2, 12 | syl3anc 1373 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))) | 
| 14 |  | simpl3 1194 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → 𝑄 ∈ 𝑋) | 
| 15 |  | elbl 24398 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))) | 
| 16 | 10, 14, 3, 15 | syl3anc 1373 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))) | 
| 17 | 13, 16 | anbi12d 632 | . . . . . 6
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))) | 
| 18 |  | anandi 676 | . . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆))) | 
| 19 | 17, 18 | bitr4di 289 | . . . . 5
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)))) | 
| 20 | 10 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) | 
| 21 | 11 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋) | 
| 22 |  | simpr 484 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋) | 
| 23 |  | xmetcl 24341 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈
ℝ*) | 
| 24 | 20, 21, 22, 23 | syl3anc 1373 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈
ℝ*) | 
| 25 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑄 ∈ 𝑋) | 
| 26 |  | xmetcl 24341 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) | 
| 27 | 20, 25, 22, 26 | syl3anc 1373 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑄𝐷𝑥) ∈
ℝ*) | 
| 28 | 2 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈
ℝ*) | 
| 29 | 3 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈
ℝ*) | 
| 30 |  | xlt2add 13302 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐷𝑥) ∈ ℝ*) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*
∧ 𝑆 ∈
ℝ*)) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 31 | 24, 27, 28, 29, 30 | syl22anc 839 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 32 |  | xmettri3 24363 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥))) | 
| 33 | 20, 21, 25, 22, 32 | syl13anc 1374 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥))) | 
| 34 | 6 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈
ℝ*) | 
| 35 | 24, 27 | xaddcld 13343 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∈
ℝ*) | 
| 36 | 4 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈
ℝ*) | 
| 37 |  | xrlelttr 13198 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
→ (((𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1373 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑄) ≤ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) ∧ ((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 39 | 33, 38 | mpand 695 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) +𝑒 (𝑄𝐷𝑥)) < (𝑅 +𝑒 𝑆) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 40 | 31, 39 | syld 47 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 41 | 40 | expimpd 453 | . . . . 5
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷𝑥) < 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 42 | 19, 41 | sylbid 240 | . . . 4
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 43 | 9, 42 | biimtrid 242 | . . 3
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) → (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))) | 
| 44 | 8, 43 | mtod 198 | . 2
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆))) | 
| 45 | 44 | eq0rdv 4407 | 1
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*
∧ (𝑅
+𝑒 𝑆)
≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑆)) = ∅) |