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Theorem bldisj 24255
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) = βˆ…)

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1193 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))
2 simpr1 1191 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3 simpr2 1192 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
42, 3xaddcld 13283 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
5 xmetcl 24188 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
65adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
74, 6xrlenltd 11281 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄) ↔ Β¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
81, 7mpbid 231 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ Β¬ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆))
9 elin 3959 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
10 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
12 elbl 24245 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
1310, 11, 2, 12syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
14 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
15 elbl 24245 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1610, 14, 3, 15syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1713, 16anbi12d 630 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆))))
18 anandi 673 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1917, 18bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆))))
2010adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
23 xmetcl 24188 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
26 xmetcl 24188 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
2720, 25, 22, 26syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
282adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
293adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
30 xlt2add 13242 . . . . . . . 8 ((((𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐷π‘₯) ∈ ℝ*) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3124, 27, 28, 29, 30syl22anc 836 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
32 xmettri3 24210 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)))
3320, 21, 25, 22, 32syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)))
346adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ*)
3524, 27xaddcld 13283 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∈ ℝ*)
364adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*)
37 xrlelttr 13138 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ∈ ℝ*) β†’ (((𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷𝑄) ≀ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
3933, 38mpand 692 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑄𝐷π‘₯)) < (𝑅 +𝑒 𝑆) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4031, 39syld 47 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4140expimpd 453 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑄𝐷π‘₯) < 𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
4219, 41sylbid 239 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
439, 42biimtrid 241 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑄) < (𝑅 +𝑒 𝑆)))
448, 43mtod 197 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)))
4544eq0rdv 4399 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑆) ≀ (𝑃𝐷𝑄))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑄(ballβ€˜π·)𝑆)) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250   +𝑒 cxad 13093  βˆžMetcxmet 21221  ballcbl 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-bl 21231
This theorem is referenced by:  bl2in  24257  blcld  24365  methaus  24380  metnrmlem3  24728  cntotbnd  37175  heiborlem6  37195
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