Theorem supxrleub 13480

Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
supxrleub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem supxrleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrlub 13479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥))
2	1	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥))
3		ralnex 3092	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥)
4	2, 3	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
5		supxrcl 13469	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		xrlenlt 11398	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
7	5, 6	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
8		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9	8	sselda 3913	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	9, 10	xrlenltd 11399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
12	11	ralbidva 3187	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
13	4, 7, 12	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  supcsup 9456  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568

This theorem is used by:  supxrre  13481  supxrss  13486  ixxub  13521  limsupgord  15665  limsupgle  15670  prdsxmetlem  24714  ovollb2lem  25836  ovolunlem1  25845  ovoliunlem2  25851  ovolscalem1  25861  ovolicc1  25864  voliunlem2  25899  voliunlem3  25900  uniioovol  25927  uniioombllem3  25933  volsup2  25953  itg2leub  26082  itg2seq  26090  itg2mono  26101  itg2gt0  26108  itg2cn  26111  mdegleb  26409  radcnvlt1  26772  nmoubi  31401  nmopub  32537  nmfnleub  32554  esumgect  34789  prdsbnd  38918  rrnequiv  38960  suplesup2  46590  supxrleubrnmpt  46619  limsupmnflem  46933  liminfval2  46981  sge0fsum  47600  sge0lefi  47611  sge0split  47622  pimdecfgtioo  47930  pimincfltioo  47931