Theorem supxrleub 13222

Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
supxrleub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem supxrleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrlub 13221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥))
2	1	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥))
3		ralnex 3058	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥)
4	2, 3	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
5		supxrcl 13211	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		xrlenlt 11174	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
7	5, 6	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9	8	sselda 3934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	9, 10	xrlenltd 11175	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
12	11	ralbidva 3153	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
13	4, 7, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  supcsup 9324  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344

This theorem is referenced by:  supxrre  13223  supxrss  13228  ixxub  13263  limsupgord  15376  limsupgle  15381  prdsxmetlem  24281  ovollb2lem  25414  ovolunlem1  25423  ovoliunlem2  25429  ovolscalem1  25439  ovolicc1  25442  voliunlem2  25477  voliunlem3  25478  uniioovol  25505  uniioombllem3  25511  volsup2  25531  itg2leub  25660  itg2seq  25668  itg2mono  25679  itg2gt0  25686  itg2cn  25689  mdegleb  25994  radcnvlt1  26352  nmoubi  30747  nmopub  31883  nmfnleub  31900  esumgect  34098  prdsbnd  37832  rrnequiv  37874  suplesup2  45413  supxrleubrnmpt  45443  limsupmnflem  45757  liminfval2  45805  sge0fsum  46424  sge0lefi  46435  sge0split  46446  pimdecfgtioo  46754  pimincfltioo  46755