Theorem supxrleub 13293

Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
supxrleub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem supxrleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrlub 13292	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥))
2	1	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥))
3		ralnex 3056	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑥)
4	2, 3	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
5		supxrcl 13282	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6		xrlenlt 11246	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
7	5, 6	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9	8	sselda 3949	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	9, 10	xrlenltd 11247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
12	11	ralbidva 3155	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
13	4, 7, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  supcsup 9398  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  supxrre  13294  supxrss  13299  ixxub  13334  limsupgord  15445  limsupgle  15450  prdsxmetlem  24263  ovollb2lem  25396  ovolunlem1  25405  ovoliunlem2  25411  ovolscalem1  25421  ovolicc1  25424  voliunlem2  25459  voliunlem3  25460  uniioovol  25487  uniioombllem3  25493  volsup2  25513  itg2leub  25642  itg2seq  25650  itg2mono  25661  itg2gt0  25668  itg2cn  25671  mdegleb  25976  radcnvlt1  26334  nmoubi  30708  nmopub  31844  nmfnleub  31861  esumgect  34087  prdsbnd  37794  rrnequiv  37836  suplesup2  45379  supxrleubrnmpt  45409  limsupmnflem  45725  liminfval2  45773  sge0fsum  46392  sge0lefi  46403  sge0split  46414  pimdecfgtioo  46722  pimincfltioo  46723