MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrleub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrleub 12405
Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrleub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem supxrleub
StepHypRef Expression
1 supxrlub 12404 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵 < 𝑥))
21notbid 310 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝐵 < 𝑥))
3 ralnex 3173 . . 3 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝐵 < 𝑥)
42, 3syl6bbr 281 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
5 supxrcl 12394 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 xrlenlt 10393 . . 3 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
75, 6sylan 576 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
8 simpl 475 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98sselda 3798 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10 simplr 786 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 xrlenlt 10393 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
129, 10, 11syl2anc 580 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
1312ralbidva 3166 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥𝐴 𝑥𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
144, 7, 133bitr4d 303 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  wss 3769   class class class wbr 4843  supcsup 8588  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559
This theorem is referenced by:  supxrre  12406  supxrss  12411  ixxub  12445  limsupgord  14544  limsupgle  14549  prdsxmetlem  22501  ovollb2lem  23596  ovolunlem1  23605  ovoliunlem2  23611  ovolscalem1  23621  ovolicc1  23624  voliunlem2  23659  voliunlem3  23660  uniioovol  23687  uniioombllem3  23693  volsup2  23713  itg2leub  23842  itg2seq  23850  itg2mono  23861  itg2gt0  23868  itg2cn  23871  mdegleb  24165  radcnvlt1  24513  nmoubi  28152  nmopub  29292  nmfnleub  29309  esumgect  30668  prdsbnd  34079  rrnequiv  34121  suplesup2  40336  supxrleubrnmpt  40375  limsupmnflem  40696  liminfval2  40744  sge0fsum  41347  sge0lefi  41358  sge0split  41369  pimdecfgtioo  41673  pimincfltioo  41674
  Copyright terms: Public domain W3C validator