Theorem zlmlem 21730

Description: Lemma for zlmbas 21731 and zlmplusg 21732. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
zlmlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
zlmlem.4	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
zlmlem	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		zlmlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17304	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
4		zlmlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
5	1, 4	setsnid 17304	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
6	3, 5	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
7		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9	7, 8	zlmval 21729	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
10	9	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
11	6, 10	eqtr4id 2816	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
12	1	str0 17285	. . . 4 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
13	12	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
14	13, 7	fveqprc 17287	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
15	11, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   sSet csts 17259  Slot cslot 17277  ndxcnx 17289  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  ._gcmg 19191  ℤ_ringczring 21660  ℤModczlm 21714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-res 5671  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-sets 17260  df-slot 17278  df-zlm 21718

This theorem is used by:  zlmbas  21731  zlmplusg  21732  zlmmulr  21733