MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmlem 20141
Description: Lemma for zlmbas 20142 and zlmplusg 20143. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmbas.w 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlem.3 𝑁 ∈ ℕ
zlmlem.4 𝑁 < 5
Assertion
Ref Expression
zlmlem (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊)

Proof of Theorem zlmlem
StepHypRef Expression
1 zlmbas.w . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2 eqid 2765 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
31, 2zlmval 20140 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
43fveq2d 6381 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩)))
5 zlmlem.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
6 zlmlem.3 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
75, 6ndxid 16159 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
85, 6ndxarg 16158 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) = 𝑁
96nnrei 11286 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2840 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
11 zlmlem.4 . . . . . . . 8 𝑁 < 5
128, 11eqbrtri 4832 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 5
1310, 12ltneii 10406 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 5
14 scandx 16288 . . . . . 6 (Scalar‘ndx) = 5
1513, 14neeqtrri 3010 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
167, 15setsnid 16190 . . . 4 (𝐸𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
17 5lt6 11461 . . . . . . . 8 5 < 6
18 5re 11363 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℝ
19 6re 11367 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
2010, 18, 19lttri 10419 . . . . . . . 8 (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
2112, 17, 20mp2an 683 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 6
2210, 21ltneii 10406 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 6
23 vscandx 16290 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
2422, 23neeqtrri 3010 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
257, 24setsnid 16190 . . . 4 (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
2616, 25eqtri 2787 . . 3 (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
274, 26syl6reqr 2818 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊))
285str0 16186 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
29 fvprc 6370 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = ∅)
30 fvprc 6370 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
311, 30syl5eq 2811 . . . 4 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
3231fveq2d 6381 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘∅))
3328, 29, 323eqtr4a 2825 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊))
3427, 33pm2.61i 176 1 (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  c0 4081  cop 4342   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  cr 10190   < clt 10330  cn 11276  5c5 11332  6c6 11333  ndxcnx 16130   sSet csts 16131  Slot cslot 16132  Scalarcsca 16220   ·𝑠 cvsca 16221  .gcmg 17810  ringzring 20094  ℤModczlm 20125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-sets 16140  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-zlm 20129
This theorem is referenced by:  zlmbas  20142  zlmplusg  20143  zlmmulr  20144
  Copyright terms: Public domain W3C validator