Theorem zlmlem 21677

Description: Lemma for zlmbas 21678 and zlmplusg 21679. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
zlmlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
zlmlem.4	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
zlmlem	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		zlmlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17274	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
4		zlmlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
5	1, 4	setsnid 17274	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
6	3, 5	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
7		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9	7, 8	zlmval 21676	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
10	9	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
11	6, 10	eqtr4id 2816	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
12	1	str0 17255	. . . 4 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
13	12	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
14	13, 7	fveqprc 17257	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
15	11, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   sSet csts 17229  Slot cslot 17247  ndxcnx 17259  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  ._gcmg 19139  ℤ_ringczring 21607  ℤModczlm 21661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-res 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-sets 17230  df-slot 17248  df-zlm 21665

This theorem is used by:  zlmbas  21678  zlmplusg  21679  zlmmulr  21680