Theorem zlmlem 20265

Description: Lemma for zlmbas 20266 and zlmplusg 20267. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
zlmlem.4	⊢ 𝑁 < 5

Assertion

Ref	Expression
zlmlem	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	zlmval 20264	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
4	3	fveq2d 6452	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
5		zlmlem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6		zlmlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7	5, 6	ndxid 16285	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8	5, 6	ndxarg 16284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
9	6	nnrei 11388	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
11		zlmlem.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 5
12	8, 11	eqbrtri 4909	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 5
13	10, 12	ltneii 10491	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
14		scandx 16409	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
15	13, 14	neeqtrri 3042	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
16	7, 15	setsnid 16315	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
17		5lt6 11567	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
18		5re 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
19		6re 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
20	10, 18, 19	lttri 10504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
21	12, 17, 20	mp2an 682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 6
22	10, 21	ltneii 10491	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 6
23		vscandx 16411	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
24	22, 23	neeqtrri 3042	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
25	7, 24	setsnid 16315	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
26	16, 25	eqtri 2802	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
27	4, 26	syl6reqr 2833	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
28	5	str0 16311	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
29		fvprc 6441	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
30		fvprc 6441	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
31	1, 30	syl5eq 2826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
32	31	fveq2d 6452	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘∅))
33	28, 29, 32	3eqtr4a 2840	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
34	27, 33	pm2.61i 177	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ∅c0 4141  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℝcr 10273   < clt 10413  ℕcn 11378  5c5 11437  6c6 11438  ndxcnx 16256   sSet csts 16257  Slot cslot 16258  Scalarcsca 16345   ·_𝑠 cvsca 16346  ._gcmg 17931  ℤ_ringzring 20218  ℤModczlm 20249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-sets 16266  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-zlm 20253

This theorem is referenced by:  zlmbas  20266  zlmplusg  20267  zlmmulr  20268