Theorem zlmlem 21510

Description: Lemma for zlmbas 21511 and zlmplusg 21512. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
zlmlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
zlmlem.4	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
zlmlem	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		zlmlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17173	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
4		zlmlem.4	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
5	1, 4	setsnid 17173	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
6	3, 5	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
7		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
9	7, 8	zlmval 21509	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
10	9	fveq2d 6840	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
11	6, 10	eqtr4id 2791	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
12	1	str0 17154	. . . 4 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
13	12	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (𝐸‘∅) = ∅
14	13, 7	fveqprc 17156	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
15	11, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   sSet csts 17128  Slot cslot 17146  ndxcnx 17158  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  ._gcmg 19038  ℤ_ringczring 21440  ℤModczlm 21494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-res 5638  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-sets 17129  df-slot 17147  df-zlm 21498

This theorem is referenced by:  zlmbas  21511  zlmplusg  21512  zlmmulr  21513