Theorem zlmlemOLD 20606

Description: Obsolete version of zlmlem 20605 as of 3-Nov-2024. Lemma for zlmbas 20607 and zlmplusg 20609. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
zlmlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 5

Assertion

Ref	Expression
zlmlemOLD	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		zlmlemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16801	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 16800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
5	2	nnrei 11887	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		zlmlemOLD.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 5
8	4, 7	eqbrtri 5091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 5
9	6, 8	ltneii 10993	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
10		scandx 16925	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
11	9, 10	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	3, 11	setsnid 16813	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
13		5lt6 12059	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
14		5re 11965	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
15		6re 11968	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
16	6, 14, 15	lttri 11006	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
17	8, 13, 16	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 6
18	6, 17	ltneii 10993	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 6
19		vscandx 16930	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
20	18, 19	neeqtrri 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
21	3, 20	setsnid 16813	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	12, 21	eqtri 2767	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
23		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
24		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
25	23, 24	zlmval 20604	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
26	25	fveq2d 6757	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
27	22, 26	eqtr4id 2799	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
28	1	str0 16793	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
29		fvprc 6745	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
30		fvprc 6745	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
31	23, 30	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
32	31	fveq2d 6757	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘∅))
33	28, 29, 32	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
34	27, 33	pm2.61i 185	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3423  ∅c0 4254  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  ℝcr 10776   < clt 10915  ℕcn 11878  5c5 11936  6c6 11937   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797  Scalarcsca 16866   ·_𝑠 cvsca 16867  ._gcmg 18590  ℤ_ringzring 20557  ℤModczlm 20589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-sca 16879  df-vsca 16880  df-zlm 20593

This theorem is referenced by:  zlmbasOLD  20608  zlmplusgOLD  20610  zlmmulrOLD  20612