Theorem zlmlemOLD 21546

Description: Obsolete version of zlmlem 21545 as of 3-Nov-2024. Lemma for zlmbas 21547 and zlmplusg 21549. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
zlmlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 5

Assertion

Ref	Expression
zlmlemOLD	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		zlmlemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17231	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 17230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
5	2	nnrei 12273	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		zlmlemOLD.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 5
8	4, 7	eqbrtri 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 5
9	6, 8	ltneii 11372	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
10		scandx 17360	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
11	9, 10	neeqtrri 3012	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	3, 11	setsnid 17243	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
13		5lt6 12445	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
14		5re 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
15		6re 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
16	6, 14, 15	lttri 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
17	8, 13, 16	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 6
18	6, 17	ltneii 11372	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 6
19		vscandx 17365	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
20	18, 19	neeqtrri 3012	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17243	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	12, 21	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
23		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
24		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
25	23, 24	zlmval 21544	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
26	25	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
27	22, 26	eqtr4id 2794	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
28	1	str0 17223	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
29		fvprc 6899	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
30		fvprc 6899	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
31	23, 30	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
32	31	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘∅))
33	28, 29, 32	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
34	27, 33	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   < clt 11293  ℕcn 12264  5c5 12322  6c6 12323   sSet csts 17197  Slot cslot 17215  ndxcnx 17227  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  ._gcmg 19098  ℤ_ringczring 21475  ℤModczlm 21529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-zlm 21533

This theorem is referenced by:  zlmbasOLD  21548  zlmplusgOLD  21550  zlmmulrOLD  21552