Theorem zlmlemOLD 20825

Description: Obsolete version of zlmlem 20824 as of 3-Nov-2024. Lemma for zlmbas 20826 and zlmplusg 20828. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
zlmlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 5

Assertion

Ref	Expression
zlmlemOLD	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		zlmlemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16995	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 16994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
5	2	nnrei 12083	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		zlmlemOLD.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 5
8	4, 7	eqbrtri 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 5
9	6, 8	ltneii 11189	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
10		scandx 17121	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
11	9, 10	neeqtrri 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	3, 11	setsnid 17007	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
13		5lt6 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
14		5re 12161	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
15		6re 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
16	6, 14, 15	lttri 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
17	8, 13, 16	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 6
18	6, 17	ltneii 11189	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 6
19		vscandx 17126	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
20	18, 19	neeqtrri 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17007	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	12, 21	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
23		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
24		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
25	23, 24	zlmval 20823	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
26	25	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
27	22, 26	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
28	1	str0 16987	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
29		fvprc 6817	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
30		fvprc 6817	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
31	23, 30	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
32	31	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘∅))
33	28, 29, 32	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
34	27, 33	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ∅c0 4269  ⟨cop 4579   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℝcr 10971   < clt 11110  ℕcn 12074  5c5 12132  6c6 12133   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  Scalarcsca 17062   ·_𝑠 cvsca 17063  ._gcmg 18796  ℤ_ringczring 20776  ℤModczlm 20808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-zlm 20812

This theorem is referenced by:  zlmbasOLD  20827  zlmplusgOLD  20829  zlmmulrOLD  20831