MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmlemOLD 21528
Description: Obsolete version of zlmlem 21527 as of 3-Nov-2024. Lemma for zlmbas 21529 and zlmplusg 21531. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmbas.w 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlemOLD.2 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlemOLD.3 𝑁 ∈ ℕ
zlmlemOLD.4 𝑁 < 5
Assertion
Ref Expression
zlmlemOLD (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊)

Proof of Theorem zlmlemOLD
StepHypRef Expression
1 zlmlemOLD.2 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
2 zlmlemOLD.3 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 17234 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
41, 2ndxarg 17233 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) = 𝑁
52nnrei 12275 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℝ
64, 5eqeltri 2837 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7 zlmlemOLD.4 . . . . . . . 8 𝑁 < 5
84, 7eqbrtri 5164 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 5
96, 8ltneii 11374 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 5
10 scandx 17358 . . . . . 6 (Scalar‘ndx) = 5
119, 10neeqtrri 3014 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
123, 11setsnid 17245 . . . 4 (𝐸𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
13 5lt6 12447 . . . . . . . 8 5 < 6
14 5re 12353 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℝ
15 6re 12356 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
166, 14, 15lttri 11387 . . . . . . . 8 (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
178, 13, 16mp2an 692 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) < 6
186, 17ltneii 11374 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ≠ 6
19 vscandx 17363 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
2018, 19neeqtrri 3014 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
213, 20setsnid 17245 . . . 4 (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
2212, 21eqtri 2765 . . 3 (𝐸𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
23 zlmbas.w . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
24 eqid 2737 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
2523, 24zlmval 21526 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
2625fveq2d 6910 . . 3 (𝐺 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩)))
2722, 26eqtr4id 2796 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊))
281str0 17226 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
29 fvprc 6898 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = ∅)
30 fvprc 6898 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
3123, 30eqtrid 2789 . . . 4 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
3231fveq2d 6910 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘∅))
3328, 29, 323eqtr4a 2803 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊))
3427, 33pm2.61i 182 1 (𝐸𝐺) = (𝐸𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  c0 4333  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154   < clt 11295  cn 12266  5c5 12324  6c6 12325   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  .gcmg 19085  ringczring 21457  ℤModczlm 21511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-zlm 21515
This theorem is referenced by:  zlmbasOLD  21530  zlmplusgOLD  21532  zlmmulrOLD  21534
  Copyright terms: Public domain W3C validator