Theorem zlmlemOLD 21528

Description: Obsolete version of zlmlem 21527 as of 3-Nov-2024. Lemma for zlmbas 21529 and zlmplusg 21531. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
zlmlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 5

Assertion

Ref	Expression
zlmlemOLD	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		zlmlemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17234	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 17233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
5	2	nnrei 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		zlmlemOLD.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 5
8	4, 7	eqbrtri 5164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 5
9	6, 8	ltneii 11374	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
10		scandx 17358	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
11	9, 10	neeqtrri 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	3, 11	setsnid 17245	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
13		5lt6 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
14		5re 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
15		6re 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
16	6, 14, 15	lttri 11387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
17	8, 13, 16	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 6
18	6, 17	ltneii 11374	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 6
19		vscandx 17363	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
20	18, 19	neeqtrri 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17245	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	12, 21	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
23		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
24		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
25	23, 24	zlmval 21526	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
26	25	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
27	22, 26	eqtr4id 2796	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
28	1	str0 17226	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
29		fvprc 6898	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
30		fvprc 6898	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
31	23, 30	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
32	31	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘∅))
33	28, 29, 32	3eqtr4a 2803	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
34	27, 33	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   < clt 11295  ℕcn 12266  5c5 12324  6c6 12325   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  ._gcmg 19085  ℤ_ringczring 21457  ℤModczlm 21511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-zlm 21515

This theorem is referenced by:  zlmbasOLD  21530  zlmplusgOLD  21532  zlmmulrOLD  21534