Theorem zlmlemOLD 21287

Description: Obsolete version of zlmlem 21286 as of 3-Nov-2024. Lemma for zlmbas 21288 and zlmplusg 21290. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
zlmlemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
zlmlemOLD.4	⊢ 𝑁 < 5

Assertion

Ref	Expression
zlmlemOLD	⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Proof of Theorem zlmlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		zlmlemOLD.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17135	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 17134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
5	2	nnrei 12226	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltri 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℝ
7		zlmlemOLD.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 < 5
8	4, 7	eqbrtri 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 5
9	6, 8	ltneii 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 5
10		scandx 17264	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
11	9, 10	neeqtrri 3013	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12	3, 11	setsnid 17147	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
13		5lt6 12398	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
14		5re 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
15		6re 12307	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
16	6, 14, 15	lttri 11345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸‘ndx) < 5 ∧ 5 < 6) → (𝐸‘ndx) < 6)
17	8, 13, 16	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) < 6
18	6, 17	ltneii 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 6
19		vscandx 17269	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
20	18, 19	neeqtrri 3013	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17147	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	12, 21	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
23		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
24		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
25	23, 24	zlmval 21285	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
26	25	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
27	22, 26	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
28	1	str0 17127	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
29		fvprc 6883	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = ∅)
30		fvprc 6883	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
31	23, 30	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
32	31	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘∅))
33	28, 29, 32	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))
34	27, 33	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ∅c0 4322  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11113   < clt 11253  ℕcn 12217  5c5 12275  6c6 12276   sSet csts 17101  Slot cslot 17119  ndxcnx 17131  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  ._gcmg 18987  ℤ_ringczring 21218  ℤModczlm 21270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-zlm 21274

This theorem is referenced by:  zlmbasOLD  21289  zlmplusgOLD  21291  zlmmulrOLD  21293