Theorem zlmplusg 21043

Description: Group operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmplusg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmplusg	⊢ + = (+g‘𝑊)

Proof of Theorem zlmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmplusg.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		zlmbas.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		plusgid 17211	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		scandxnplusgndx 17249	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
5	4	necomi 2996	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
6		vscandxnplusgndx 17254	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
7	6	necomi 2996	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
8	2, 3, 5, 7	zlmlem 21039	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
9	1, 8	eqtri 2761	1 ⊢ + = (+g‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1542  ‘cfv 6535  ndxcnx 17113  +_gcplusg 17184  Scalarcsca 17187   ·_𝑠 cvsca 17188  ℤModczlm 21023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-plusg 17197  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-zlm 21027

This theorem is referenced by:  zlmlmod  21049  zlmassa  21427  zlm0  32871  zlmnm  32877  zhmnrg  32878