Theorem zlmmulr 21640

Description: Ring operation of a ℤ-module (if present). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmmulr.2	⊢ · = (.r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmmulr	⊢ · = (.r‘𝑊)

Proof of Theorem zlmmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝐺)
2		zlmbas.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		mulridx 17350	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		scandxnmulrndx 17373	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3018	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
6		vscandxnmulrndx 17378	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	6	necomi 3018	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
8	2, 3, 5, 7	zlmlem 21637	. 2 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
9	1, 8	eqtri 2792	1 ⊢ · = (.r‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1567  ‘cfv 6539  ndxcnx 17255  ._rcmulr 17313  Scalarcsca 17315   ·_𝑠 cvsca 17316  ℤModczlm 21621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-zlm 21625

This theorem is referenced by:  zlmassa  22024  zlm1  34298  zhmnrg  34302