Theorem zlmmulr 21772

Description: Ring operation of a ℤ-module (if present). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmmulr.2	⊢ · = (.r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmmulr	⊢ · = (.r‘𝑊)

Proof of Theorem zlmmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝐺)
2		zlmbas.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		mulridx 17413	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		scandxnmulrndx 17436	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3009	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
6		vscandxnmulrndx 17441	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	6	necomi 3009	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
8	2, 3, 5, 7	zlmlem 21769	. 2 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
9	1, 8	eqtri 2783	1 ⊢ · = (.r‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6528  ndxcnx 17318  ._rcmulr 17376  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  ℤModczlm 21753

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-zlm 21757

This theorem is used by:  zlmassa  22158  zlm1  34512  zhmnrg  34516