Theorem zlmmulr 21825

Description: Ring operation of a ℤ-module (if present). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmmulr.2	⊢ · = (.r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmmulr	⊢ · = (.r‘𝑊)

Proof of Theorem zlmmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝐺)
2		zlmbas.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		mulridx 17466	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		scandxnmulrndx 17489	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	4	necomi 3009	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
6		vscandxnmulrndx 17494	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	6	necomi 3009	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
8	2, 3, 5, 7	zlmlem 21822	. 2 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
9	1, 8	eqtri 2783	1 ⊢ · = (.r‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ‘cfv 6538  ndxcnx 17371  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  ℤModczlm 21806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-zlm 21810

This theorem is used by:  zlmassa  22211  zlm1  34593  zhmnrg  34597