Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem3 25019
 Description: Lemma for lgseisen 25021. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
lgseisen.9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑌   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑥))
21fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · 𝑥)))
32cbvmptv 4715 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
43oveq2i 6621 . . . . . 6 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
75, 6mgpbas 18427 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝐺)
8 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
109eldifad 3571 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1211znfld 19841 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ Field)
14 isfld 18688 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Field ↔ (𝑌 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ CRing))
1514simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
175crngmgp 18487 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
19 fzfid 12720 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
20 crngring 18490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2322zrhrhm 19792 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
25 zringbas 19756 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
2625, 6rhmf 18658 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
28 2z 11361 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
29 elfzelz 12292 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
30 zmulcl 11378 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
3128, 29, 30sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
32 ffvelrn 6318 . . . . . . . . 9 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℤ) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
3327, 31, 32syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
34 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))
3533, 34fmptd 6346 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
36 fvex 6163 . . . . . . . . 9 (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ V)
38 fvex 6163 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
4034, 19, 37, 39fsuppmptdm 8238 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) finSupp (0g𝐺))
41 lgseisen.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
42 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
43 lgseisen.4 . . . . . . . 8 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
44 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
45 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
469, 41, 42, 43, 44, 45lgseisenlem2 25018 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
477, 8, 18, 19, 35, 40, 46gsumf1o 18249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
484, 47syl5eqr 2669 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
499, 41, 42, 43, 44lgseisenlem1 25017 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
5044fmpt 6342 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
5149, 50sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
5244a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
53 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))))
54 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (2 · 𝑘) = (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
5554fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))
5651, 52, 53, 55fmptcof 6358 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))))
5756oveq2d 6626 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))))
5841eldifad 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
60 prmz 15324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
62 2nn 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ
63 elfznn 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
65 nnmulcl 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6662, 64, 65sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6766nnzd 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
6861, 67zmulcld 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
6910adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
70 prmnn 15323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
7268, 71zmodcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7343, 72syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
7473nn0zd 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
75 m1expcl 12831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7776, 74zmulcld 11440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
7877, 71zmodcld 12639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7978nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ)
80 2cnd 11045 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℂ)
81 2ne0 11065 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ≠ 0)
8379, 80, 82divcan2d 10755 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
8483fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
8571nnrpd 11822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
86 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
8743oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃)
8868zred 11434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
89 modabs2 12652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
9088, 85, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
9187, 90syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
9276, 76, 74, 68, 85, 86, 91modmul12d 12672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
9377zred 11434 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ)
94 modabs2 12652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9593, 85, 94syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9676zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
9761zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℂ)
9867zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
9996, 97, 98mulassd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) = ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))
10099oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
10192, 95, 1003eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
10210, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10478nn0zd 11432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ)
10576, 61zmulcld 11440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ)
106105, 67zmulcld 11440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
107 moddvds 14926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
108103, 104, 106, 107syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
109101, 108mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
11071nnnn0d 11303 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
11111, 22zndvds 19830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
112110, 104, 106, 111syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
113109, 112mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
11424adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
115 zringmulr 19759 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
116 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
11725, 115, 116rhmmul 18659 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
118114, 105, 67, 117syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
11984, 113, 1183eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
120119mpteq2dva 4709 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
12127adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
122121, 105ffvelrnd 6321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ (Base‘𝑌))
123121, 67ffvelrnd 6321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
124 eqidd 2622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
125 eqidd 2622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
12619, 122, 123, 124, 125offval2 6874 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
127120, 126eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))
128127oveq2d 6626 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
12948, 57, 1283eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
1305, 116mgpplusg 18425 . . . . 5 (.r𝑌) = (+g𝐺)
131 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))
132 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
1337, 130, 18, 19, 122, 123, 131, 132gsummptfidmadd2 18258 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
134129, 133eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
135134oveq1d 6625 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
136 eqid 2621 . . . . . 6 (Unit‘𝑌) = (Unit‘𝑌)
137136, 5unitsubm 18602 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
13821, 137syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
139 elfzle2 12295 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
140139adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
14164nnred 10987 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
142 prmuz2 15343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
143 uz2m1nn 11715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
14469, 142, 1433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
145144nnred 10987 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
146 2re 11042 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℝ)
148 2pos 11064 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < 2)
150 lemuldiv2 10856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
151141, 145, 147, 149, 150syl112anc 1327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
152140, 151mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
153 prmz 15324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15469, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
155 peano2zm 11372 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
157 fznn 12358 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
15966, 152, 158mpbir2and 956 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
160 fzm1ndvds 14979 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
16171, 159, 160syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
162 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (0g𝑌) = (0g𝑌)
16311, 22, 162zndvds0 19831 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
164110, 67, 163syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
165164necon3abid 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
166161, 165mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))
16714simplbi 476 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ DivRing)
16813, 167syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ DivRing)
169168adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑌 ∈ DivRing)
1706, 136, 162drngunit 18684 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ DivRing → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
171169, 170syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
172123, 166, 171mpbir2and 956 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌))
173172, 132fmptd 6346 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Unit‘𝑌))
174 fvex 6163 . . . . . 6 (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ V
175174a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ V)
176132, 19, 175, 39fsuppmptdm 8238 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) finSupp (0g𝐺))
1778, 18, 19, 138, 173, 176gsumsubmcl 18251 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌))
178 eqid 2621 . . . 4 (/r𝑌) = (/r𝑌)
179 eqid 2621 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
180136, 178, 179dvrid 18620 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
18121, 177, 180syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
182122, 131fmptd 6346 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
183 fvex 6163 . . . . . 6 (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ V
184183a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ V)
185131, 19, 184, 39fsuppmptdm 8238 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) finSupp (0g𝐺))
1867, 8, 18, 19, 182, 185gsumcl 18248 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌))
1876, 136, 178, 116dvrcan3 18624 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
18821, 186, 177, 187syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
189135, 181, 1883eqtr3rd 2664 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  Vcvv 3189   ∖ cdif 3556  {csn 4153   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678   ∘ ccom 5083  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ∘𝑓 cof 6855  Fincfn 7907  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893   < clt 10026   ≤ cle 10027   − cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  ℕcn 10972  2c2 11022  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329  ℤ≥cuz 11639  ℝ+crp 11784  ...cfz 12276   mod cmo 12616  ↑cexp 12808   ∥ cdvds 14918  ℙcprime 15320  Basecbs 15792  .rcmulr 15874  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  SubMndcsubmnd 17266  CMndccmn 18125  mulGrpcmgp 18421  1rcur 18433  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480  Unitcui 18571  /rcdvr 18614   RingHom crh 18644  DivRingcdr 18679  Fieldcfield 18680  ℤringzring 19750  ℤRHomczrh 19780  ℤ/nℤczn 19783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-imas 16100  df-qus 16101  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-nsg 17524  df-eqg 17525  df-ghm 17590  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-rnghom 18647  df-drng 18681  df-field 18682  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-lidl 19106  df-rsp 19107  df-2idl 19164  df-nzr 19190  df-rlreg 19215  df-domn 19216  df-idom 19217  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zrh 19784  df-zn 19787 This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  25020
 Copyright terms: Public domain W3C validator