Theorem enrer 7883

Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrer	|- ~R Er ( P. X. P. )

Proof of Theorem enrer

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enr 7874	. 2 |- ~R = { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) }
2		addcomprg 7726	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) = ( y +P. x ) )
3		addclpr 7685	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) e. P. )
4		addassprg 7727	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( x +P. y ) +P. z ) = ( x +P. ( y +P. z ) ) )
5		addcanprg 7764	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( x +P. y ) = ( x +P. z ) -> y = z ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	ecopoverg 6746	1 |- ~R Er ( P. X. P. )

Syntax hints:   X. cxp 4691   Er wer 6640   P.cnp 7439   +P. cpp 7441   ~R cer 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-0nq0 7574  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614  df-iplp 7616  df-enr 7874

This theorem is referenced by:  enreceq  7884  prsrlem1  7890  addsrmo  7891  mulsrmo  7892  ltsrprg  7895  gt0srpr  7896  0nsr  7897  axcnex  8007