Theorem enrer 7751

Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrer	|- ~R Er ( P. X. P. )

Proof of Theorem enrer

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enr 7742	. 2 |- ~R = { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) }
2		addcomprg 7594	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) = ( y +P. x ) )
3		addclpr 7553	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) e. P. )
4		addassprg 7595	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( x +P. y ) +P. z ) = ( x +P. ( y +P. z ) ) )
5		addcanprg 7632	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( x +P. y ) = ( x +P. z ) -> y = z ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	ecopoverg 6653	1 |- ~R Er ( P. X. P. )

Syntax hints:   X. cxp 4638   Er wer 6549   P.cnp 7307   +P. cpp 7309   ~R cer 7312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-eprel 4303  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-1o 6434  df-2o 6435  df-oadd 6438  df-omul 6439  df-er 6552  df-ec 6554  df-qs 6558  df-ni 7320  df-pli 7321  df-mi 7322  df-lti 7323  df-plpq 7360  df-mpq 7361  df-enq 7363  df-nqqs 7364  df-plqqs 7365  df-mqqs 7366  df-1nqqs 7367  df-rq 7368  df-ltnqqs 7369  df-enq0 7440  df-nq0 7441  df-0nq0 7442  df-plq0 7443  df-mq0 7444  df-inp 7482  df-iplp 7484  df-enr 7742

This theorem is referenced by:  enreceq  7752  prsrlem1  7758  addsrmo  7759  mulsrmo  7760  ltsrprg  7763  gt0srpr  7764  0nsr  7765  axcnex  7875