ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0r Unicode version

Theorem 0r 7565
Description: The constant  0R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
0r  |-  0R  e.  R.

Proof of Theorem 0r
StepHypRef Expression
1 1pr 7369 . . . 4  |-  1P  e.  P.
2 opelxpi 4571 . . . 4  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. 1P ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
31, 1, 2mp2an 422 . . 3  |-  <. 1P ,  1P >.  e.  ( P. 
X.  P. )
4 enrex 7552 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
54ecelqsi 6483 . . 3  |-  ( <. 1P ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
63, 5ax-mp 5 . 2  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
7 df-0r 7546 . 2  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
8 df-nr 7542 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
96, 7, 83eltr4i 2221 1  |-  0R  e.  R.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1480   <.cop 3530    X. cxp 4537   [cec 6427   /.cqs 6428   P.cnp 7106   1Pc1p 7107    ~R cer 7111   R.cnr 7112   0Rc0r 7113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-inp 7281  df-i1p 7282  df-enr 7541  df-nr 7542  df-0r 7546
This theorem is referenced by:  addgt0sr  7590  ltadd1sr  7591  map2psrprg  7620  suplocsrlempr  7622  opelreal  7642  elreal  7643  elrealeu  7644  elreal2  7645  eqresr  7651  addresr  7652  mulresr  7653  pitonn  7663  peano2nnnn  7668  axresscn  7675  axicn  7678  axi2m1  7690  ax0id  7693  axprecex  7695  axcnre  7696
  Copyright terms: Public domain W3C validator