Theorem 0r 8081

Description: The constant 0R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0r	|- 0R e. R.

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7885	. . . 4 |- 1P e. P.
2		opelxpi 4786	. . . 4 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. 1P , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 |- <. 1P , 1P >. e. ( P. X. P. )
4		enrex 8068	. . . 4 |- ~R e. _V
5	4	ecelqsi 6836	. . 3 |- ( <. 1P , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. 1P , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 |- [ <. 1P , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R )
7		df-0r 8062	. 2 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
8		df-nr 8058	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2316	1 |- 0R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 2205   <.cop 3697   X. cxp 4752   [cec 6778   /.cqs 6779   P.cnp 7622   1Pc1p 7623   ~R cer 7627   R.cnr 7628   0Rc0r 7629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-enr 8057  df-nr 8058  df-0r 8062

This theorem is referenced by:  addgt0sr  8106  ltadd1sr  8107  map2psrprg  8136  suplocsrlempr  8138  opelreal  8158  elreal  8159  elrealeu  8160  elreal2  8161  eqresr  8167  addresr  8168  mulresr  8169  pitonn  8179  peano2nnnn  8184  axresscn  8191  axicn  8194  axi2m1  8206  ax0id  8209  axprecex  8211  axcnre  8212