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Theorem addnqprulem 7595
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S <Q X )
2 ltrnqi 7488 . . . . . 6 |- ( S <Q X -> ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) )
3 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> X e. Q. )
4 recclnq 7459 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
6 ltrelnq 7432 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
76brel 4715 . . . . . . . . . . 11 |- ( S <Q X -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
87adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
98simpld 112 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S e. Q. )
10 recclnq 7459 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
12 ltmnqg 7468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` X ) e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
135, 11, 3, 12syl3anc 1249 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
14 ltmnqg 7468 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7443 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
173, 5, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7443 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
193, 11, 18syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
20 elprnqu 7549 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7450 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6093 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 188 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
262, 25imbitrid 154 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7460 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5937 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7433 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7450 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7456 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2229 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2251 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq1d 4043 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3721, 3, 36syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3827, 37mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
39 prcunqu 7552 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4039ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U )
4241ex 115 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Q.cnq 7347   1Qc1q 7348   .Q cmq 7350   *Qcrq 7351   <Q cltq 7352   P.cnp 7358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-lti 7374  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-inp 7533
This theorem is referenced by:  addnqpru  7597
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