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Theorem addnqprulem 7304
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( S  <Q  X  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )

Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  S  <Q  X )
2 ltrnqi 7197 . . . . . 6  |-  ( S 
<Q  X  ->  ( *Q
`  X )  <Q 
( *Q `  S
) )
3 simplr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  X  e.  Q. )
4 recclnq 7168 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( *Q `  X )  e. 
Q. )
53, 4syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( *Q `  X )  e.  Q. )
6 ltrelnq 7141 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
<Q  X  ->  ( S  e.  Q.  /\  X  e.  Q. ) )
87adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( S  e. 
Q.  /\  X  e.  Q. ) )
98simpld 111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  S  e.  Q. )
10 recclnq 7168 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Q.  ->  ( *Q `  S )  e. 
Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( *Q `  S )  e.  Q. )
12 ltmnqg 7177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  X
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  S )  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  (
( *Q `  X
)  <Q  ( *Q `  S )  <->  ( X  .Q  ( *Q `  X
) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  S ) ) ) )
135, 11, 3, 12syl3anc 1201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( *Q
`  X )  <Q 
( *Q `  S
)  <->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  S
) ) ) )
14 ltmnqg 7177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
1514adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )  -> 
( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y ) 
<Q  ( w  .Q  z
) ) )
16 mulclnq 7152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
173, 5, 16syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
18 mulclnq 7152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  S )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
193, 11, 18syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
20 elprnqu 7258 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  ->  G  e.  Q. )
2120ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  G  e.  Q. )
22 mulcomnqg 7159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  <Q 
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) 
<Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
2513, 24bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( *Q
`  X )  <Q 
( *Q `  S
)  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
262, 25syl5ib 153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( S  <Q  X  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) )
28 recidnq 7169 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  =  1Q )
2928oveq1d 5757 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Q.  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  ( 1Q  .Q  G
) )
30 1nq 7142 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
31 mulcomnqg 7159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  G  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  G
)  =  ( G  .Q  1Q ) )
3230, 31mpan 420 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  ( G  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 7165 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( G  .Q  1Q )  =  G )
3432, 33eqtrd 2150 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  G )
3529, 34sylan9eqr 2172 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  G )
3635breq1d 3909 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <->  G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
3721, 3, 36syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  X ) )  .Q  G )  <Q 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <-> 
G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
3827, 37mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  G  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) )
39 prcunqu 7261 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  ->  ( G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )
4039ad2antrr 479 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  -> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )
4138, 40mpd 13 . 2  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U
)
4241ex 114 1  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( S  <Q  X  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   <.cop 3500   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   Q.cnq 7056   1Qc1q 7057    .Q cmq 7059   *Qcrq 7060    <Q cltq 7061   P.cnp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-lti 7083  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-inp 7242
This theorem is referenced by:  addnqpru  7306
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