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Theorem addnqprulem 7450
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( S  <Q  X  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )

Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  S  <Q  X )
2 ltrnqi 7343 . . . . . 6  |-  ( S 
<Q  X  ->  ( *Q
`  X )  <Q 
( *Q `  S
) )
3 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  X  e.  Q. )
4 recclnq 7314 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( *Q `  X )  e. 
Q. )
53, 4syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( *Q `  X )  e.  Q. )
6 ltrelnq 7287 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
<Q  X  ->  ( S  e.  Q.  /\  X  e.  Q. ) )
87adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( S  e. 
Q.  /\  X  e.  Q. ) )
98simpld 111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  S  e.  Q. )
10 recclnq 7314 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Q.  ->  ( *Q `  S )  e. 
Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( *Q `  S )  e.  Q. )
12 ltmnqg 7323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  X
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  S )  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  (
( *Q `  X
)  <Q  ( *Q `  S )  <->  ( X  .Q  ( *Q `  X
) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  S ) ) ) )
135, 11, 3, 12syl3anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( *Q
`  X )  <Q 
( *Q `  S
)  <->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  S
) ) ) )
14 ltmnqg 7323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
1514adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )  -> 
( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y ) 
<Q  ( w  .Q  z
) ) )
16 mulclnq 7298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
173, 5, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
18 mulclnq 7298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  S )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
193, 11, 18syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
20 elprnqu 7404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  ->  G  e.  Q. )
2120ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  G  e.  Q. )
22 mulcomnqg 7305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  <Q 
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) 
<Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
2513, 24bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( *Q
`  X )  <Q 
( *Q `  S
)  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
262, 25syl5ib 153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( S  <Q  X  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) )
28 recidnq 7315 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  =  1Q )
2928oveq1d 5841 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Q.  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  ( 1Q  .Q  G
) )
30 1nq 7288 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
31 mulcomnqg 7305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  G  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  G
)  =  ( G  .Q  1Q ) )
3230, 31mpan 421 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  ( G  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 7311 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( G  .Q  1Q )  =  G )
3432, 33eqtrd 2190 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  G )
3529, 34sylan9eqr 2212 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  G )
3635breq1d 3977 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <->  G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
3721, 3, 36syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  X ) )  .Q  G )  <Q 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <-> 
G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) ) )
3827, 37mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  G  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) )
39 prcunqu 7407 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  U )  ->  ( G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )
4039ad2antrr 480 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( G  <Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  -> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )
4138, 40mpd 13 . 2  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  /\  S  <Q  X )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U
)
4241ex 114 1  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  U )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( S  <Q  X  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   <.cop 3564   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   Q.cnq 7202   1Qc1q 7203    .Q cmq 7205   *Qcrq 7206    <Q cltq 7207   P.cnp 7213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-eprel 4251  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6482  df-ec 6484  df-qs 6488  df-ni 7226  df-mi 7228  df-lti 7229  df-mpq 7267  df-enq 7269  df-nqqs 7270  df-mqqs 7272  df-1nqqs 7273  df-rq 7274  df-ltnqqs 7275  df-inp 7388
This theorem is referenced by:  addnqpru  7452
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