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Theorem addnqprulem 7541
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S <Q X )
2 ltrnqi 7434 . . . . . 6 |- ( S <Q X -> ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) )
3 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> X e. Q. )
4 recclnq 7405 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
6 ltrelnq 7378 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
76brel 4690 . . . . . . . . . . 11 |- ( S <Q X -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
87adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
98simpld 112 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S e. Q. )
10 recclnq 7405 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
12 ltmnqg 7414 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` X ) e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
135, 11, 3, 12syl3anc 1248 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
14 ltmnqg 7414 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7389 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
173, 5, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7389 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
193, 11, 18syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
20 elprnqu 7495 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7396 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6058 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 188 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
262, 25imbitrid 154 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7406 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5903 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7379 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7396 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7402 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2220 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2242 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq1d 4025 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3721, 3, 36syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3827, 37mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
39 prcunqu 7498 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4039ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U )
4241ex 115 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   <.cop 3607   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Q.cnq 7293   1Qc1q 7294   .Q cmq 7296   *Qcrq 7297   <Q cltq 7298   P.cnp 7304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-lti 7320  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-inp 7479
This theorem is referenced by:  addnqpru  7543
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