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Theorem addnqprulem 7469
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprulem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Proof of Theorem addnqprulem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S <Q X )
2 ltrnqi 7362 . . . . . 6 |- ( S <Q X -> ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) )
3 simplr 520 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> X e. Q. )
4 recclnq 7333 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
6 ltrelnq 7306 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
76brel 4656 . . . . . . . . . . 11 |- ( S <Q X -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
87adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S e. Q. /\ X e. Q. ) )
98simpld 111 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> S e. Q. )
10 recclnq 7333 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
12 ltmnqg 7342 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` X ) e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
135, 11, 3, 12syl3anc 1228 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) ) )
14 ltmnqg 7342 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7317 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
173, 5, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7317 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
193, 11, 18syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
20 elprnqu 7423 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7324 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6011 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` S ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 187 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( *Q ` X ) <Q ( *Q ` S ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
262, 25syl5ib 153 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7334 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5857 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7307 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7324 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 421 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7330 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2198 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2221 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq1d 3992 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3721, 3, 36syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <-> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) ) )
3827, 37mpbid 146 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) )
39 prcunqu 7426 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4039ad2antrr 480 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( G <Q ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) /\ S <Q X ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U )
4241ex 114 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. U ) /\ X e. Q. ) -> ( S <Q X -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Q.cnq 7221   1Qc1q 7222   .Q cmq 7224   *Qcrq 7225   <Q cltq 7226   P.cnp 7232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-lti 7248  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-inp 7407
This theorem is referenced by:  addnqpru  7471
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