Theorem appdivnq 7761

Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where A and B are positive, as well as C). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdivnq	|- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   C, m

Proof of Theorem appdivnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A <Q B )
2		ltrelnq 7563	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4771	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
5	4	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A e. Q. )
6	4	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> B e. Q. )
7		recclnq 7590	. . . . . 6 |- ( C e. Q. -> ( *Q ` C ) e. Q. )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
9		ltmnqg 7599	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) )
12		ltbtwnnqq 7613	. . 3 |- ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
13	11, 12	sylib 122	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
14	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
15	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> A e. Q. )
16		mulclnq 7574	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> m e. Q. )
19		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> C e. Q. )
20		ltmnqg 7599	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. /\ m e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
22		recidnq 7591	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Q. -> ( C .Q ( *Q ` C ) ) = 1Q )
23	22	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
25		mulassnqg 7582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
26	19, 14, 15, 25	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
27		1nq 7564	. . . . . . . . . . . 12 |- 1Q e. Q.
28		mulcomnqg 7581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
30		mulidnq 7587	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	29, 30	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = A )
32	15, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = A )
33	24, 26, 32	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) = A )
34	33	breq1d 4093	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
35	21, 34	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
36	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> B e. Q. )
37		mulclnq 7574	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
38	14, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
39		ltmnqg 7599	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Q. /\ ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
40	18, 38, 19, 39	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
41	22	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
42	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
43		mulassnqg 7582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
44	19, 14, 36, 43	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
45		mulcomnqg 7581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
46	27, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
47		mulidnq 7587	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( B .Q 1Q ) = B )
48	46, 47	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = B )
49	36, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = B )
50	42, 44, 49	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) = B )
51	50	breq2d 4095	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
52	40, 51	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
53	35, 52	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) ) )
54		mulcomnqg 7581	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
55	19, 18, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
56	55	breq2d 4095	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( A <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( m .Q C ) ) )
57	55	breq1d 4093	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q B <-> ( m .Q C ) <Q B ) )
58	56, 57	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
59	53, 58	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
60	59	biimpd 144	. . 3 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
61	60	reximdva 2632	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
62	13, 61	mpd 13	1 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Q.cnq 7478   1Qc1q 7479   .Q cmq 7481   *Qcrq 7482   <Q cltq 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-plpq 7542  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-plqqs 7547  df-mqqs 7548  df-1nqqs 7549  df-rq 7550  df-ltnqqs 7551

This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7762  mullocpr  7769