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Theorem appdivnq 7176
Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where  A and  B are positive, as well as  C). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdivnq  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  E. m  e.  Q.  ( A  <Q  ( m  .Q  C )  /\  ( m  .Q  C
)  <Q  B ) )
Distinct variable groups:    A, m    B, m    C, m

Proof of Theorem appdivnq
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  A  <Q  B )
2 ltrelnq 6978 . . . . . . . 8  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4503 . . . . . . 7  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
43adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )
)
54simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  A  e.  Q. )
64simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  B  e.  Q. )
7 recclnq 7005 . . . . . 6  |-  ( C  e.  Q.  ->  ( *Q `  C )  e. 
Q. )
87adantl 272 . . . . 5  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( *Q `  C
)  e.  Q. )
9 ltmnqg 7014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  ( *Q `  C )  e. 
Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( ( *Q `  C )  .Q  A )  <Q  (
( *Q `  C
)  .Q  B ) ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1175 . . . 4  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( ( *Q `  C )  .Q  A )  <Q  (
( *Q `  C
)  .Q  B ) ) )
111, 10mpbid 146 . . 3  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  C )  .Q  A
)  <Q  ( ( *Q
`  C )  .Q  B ) )
12 ltbtwnnqq 7028 . . 3  |-  ( ( ( *Q `  C
)  .Q  A ) 
<Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B
)  <->  E. m  e.  Q.  ( ( ( *Q
`  C )  .Q  A )  <Q  m  /\  m  <Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B ) ) )
1311, 12sylib 121 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  E. m  e.  Q.  ( ( ( *Q
`  C )  .Q  A )  <Q  m  /\  m  <Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B ) ) )
148adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( *Q `  C )  e.  Q. )
155adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  A  e.  Q. )
16 mulclnq 6989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( *Q `  C
)  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  C )  .Q  A
)  e.  Q. )
1714, 15, 16syl2anc 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( *Q
`  C )  .Q  A )  e.  Q. )
18 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  m  e.  Q. )
19 simplr 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  C  e.  Q. )
20 ltmnqg 7014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( *Q `  C )  .Q  A
)  e.  Q.  /\  m  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  (
( ( *Q `  C )  .Q  A
)  <Q  m  <->  ( C  .Q  ( ( *Q `  C )  .Q  A
) )  <Q  ( C  .Q  m ) ) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q `  C )  .Q  A )  <Q  m 
<->  ( C  .Q  (
( *Q `  C
)  .Q  A ) )  <Q  ( C  .Q  m ) ) )
22 recidnq 7006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  Q.  ->  ( C  .Q  ( *Q `  C ) )  =  1Q )
2322oveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  Q.  ->  (
( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  A )  =  ( 1Q  .Q  A
) )
2423ad2antlr 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  A )  =  ( 1Q  .Q  A ) )
25 mulassnqg 6997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( *Q `  C )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  (
( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  A )  =  ( C  .Q  (
( *Q `  C
)  .Q  A ) ) )
2619, 14, 15, 25syl3anc 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  A )  =  ( C  .Q  ( ( *Q `  C )  .Q  A ) ) )
27 1nq 6979 . . . . . . . . . . . 12  |-  1Q  e.  Q.
28 mulcomnqg 6996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  A
)  =  ( A  .Q  1Q ) )
2927, 28mpan 416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  A )  =  ( A  .Q  1Q ) )
30 mulidnq 7002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  1Q )  =  A )
3129, 30eqtrd 2121 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  A )  =  A )
3215, 31syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  A )  =  A )
3324, 26, 323eqtr3d 2129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  ( ( *Q `  C )  .Q  A
) )  =  A )
3433breq1d 3861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( C  .Q  ( ( *Q
`  C )  .Q  A ) )  <Q 
( C  .Q  m
)  <->  A  <Q  ( C  .Q  m ) ) )
3521, 34bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q `  C )  .Q  A )  <Q  m 
<->  A  <Q  ( C  .Q  m ) ) )
366adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  B  e.  Q. )
37 mulclnq 6989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( *Q `  C
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  C )  .Q  B
)  e.  Q. )
3814, 36, 37syl2anc 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( *Q
`  C )  .Q  B )  e.  Q. )
39 ltmnqg 7014 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Q.  /\  ( ( *Q `  C )  .Q  B
)  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( m  <Q  (
( *Q `  C
)  .Q  B )  <-> 
( C  .Q  m
)  <Q  ( C  .Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B
) ) ) )
4018, 38, 19, 39syl3anc 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( m  <Q  ( ( *Q `  C
)  .Q  B )  <-> 
( C  .Q  m
)  <Q  ( C  .Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B
) ) ) )
4122oveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  Q.  ->  (
( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  B )  =  ( 1Q  .Q  B
) )
4241ad2antlr 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  B )  =  ( 1Q  .Q  B ) )
43 mulassnqg 6997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  ( *Q `  C )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  (
( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  B )  =  ( C  .Q  (
( *Q `  C
)  .Q  B ) ) )
4419, 14, 36, 43syl3anc 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( C  .Q  ( *Q `  C ) )  .Q  B )  =  ( C  .Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B ) ) )
45 mulcomnqg 6996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  B
)  =  ( B  .Q  1Q ) )
4627, 45mpan 416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  B )  =  ( B  .Q  1Q ) )
47 mulidnq 7002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( B  .Q  1Q )  =  B )
4846, 47eqtrd 2121 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  B )  =  B )
4936, 48syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  B )  =  B )
5042, 44, 493eqtr3d 2129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B
) )  =  B )
5150breq2d 3863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( C  .Q  m )  <Q 
( C  .Q  (
( *Q `  C
)  .Q  B ) )  <->  ( C  .Q  m )  <Q  B ) )
5240, 51bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( m  <Q  ( ( *Q `  C
)  .Q  B )  <-> 
( C  .Q  m
)  <Q  B ) )
5335, 52anbi12d 458 . . . . 5  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  C
)  .Q  A ) 
<Q  m  /\  m  <Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B
) )  <->  ( A  <Q  ( C  .Q  m
)  /\  ( C  .Q  m )  <Q  B ) ) )
54 mulcomnqg 6996 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  m  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  m
)  =  ( m  .Q  C ) )
5519, 18, 54syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  m )  =  ( m  .Q  C ) )
5655breq2d 3863 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  ( C  .Q  m )  <-> 
A  <Q  ( m  .Q  C ) ) )
5755breq1d 3861 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( C  .Q  m )  <Q  B 
<->  ( m  .Q  C
)  <Q  B ) )
5856, 57anbi12d 458 . . . . 5  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( A 
<Q  ( C  .Q  m
)  /\  ( C  .Q  m )  <Q  B )  <-> 
( A  <Q  (
m  .Q  C )  /\  ( m  .Q  C )  <Q  B ) ) )
5953, 58bitrd 187 . . . 4  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  C
)  .Q  A ) 
<Q  m  /\  m  <Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B
) )  <->  ( A  <Q  ( m  .Q  C
)  /\  ( m  .Q  C )  <Q  B ) ) )
6059biimpd 143 . . 3  |-  ( ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  /\  m  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  C
)  .Q  A ) 
<Q  m  /\  m  <Q  ( ( *Q `  C )  .Q  B
) )  ->  ( A  <Q  ( m  .Q  C )  /\  (
m  .Q  C ) 
<Q  B ) ) )
6160reximdva 2476 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( E. m  e. 
Q.  ( ( ( *Q `  C )  .Q  A )  <Q  m  /\  m  <Q  (
( *Q `  C
)  .Q  B ) )  ->  E. m  e.  Q.  ( A  <Q  ( m  .Q  C )  /\  ( m  .Q  C )  <Q  B ) ) )
6213, 61mpd 13 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  E. m  e.  Q.  ( A  <Q  ( m  .Q  C )  /\  ( m  .Q  C
)  <Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   E.wrex 2361   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   Q.cnq 6893   1Qc1q 6894    .Q cmq 6896   *Qcrq 6897    <Q cltq 6898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-pli 6918  df-mi 6919  df-lti 6920  df-plpq 6957  df-mpq 6958  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-plqqs 6962  df-mqqs 6963  df-1nqqs 6964  df-rq 6965  df-ltnqqs 6966
This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7177  mullocpr  7184
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