Theorem appdivnq 7826

Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where A and B are positive, as well as C). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdivnq	|- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   C, m

Proof of Theorem appdivnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A <Q B )
2		ltrelnq 7628	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4784	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
5	4	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A e. Q. )
6	4	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> B e. Q. )
7		recclnq 7655	. . . . . 6 |- ( C e. Q. -> ( *Q ` C ) e. Q. )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
9		ltmnqg 7664	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) )
12		ltbtwnnqq 7678	. . 3 |- ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
13	11, 12	sylib 122	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
14	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
15	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> A e. Q. )
16		mulclnq 7639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> m e. Q. )
19		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> C e. Q. )
20		ltmnqg 7664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. /\ m e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
22		recidnq 7656	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Q. -> ( C .Q ( *Q ` C ) ) = 1Q )
23	22	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
25		mulassnqg 7647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
26	19, 14, 15, 25	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
27		1nq 7629	. . . . . . . . . . . 12 |- 1Q e. Q.
28		mulcomnqg 7646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
30		mulidnq 7652	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	29, 30	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = A )
32	15, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = A )
33	24, 26, 32	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) = A )
34	33	breq1d 4103	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
35	21, 34	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
36	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> B e. Q. )
37		mulclnq 7639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
38	14, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
39		ltmnqg 7664	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Q. /\ ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
40	18, 38, 19, 39	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
41	22	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
42	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
43		mulassnqg 7647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
44	19, 14, 36, 43	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
45		mulcomnqg 7646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
46	27, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
47		mulidnq 7652	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( B .Q 1Q ) = B )
48	46, 47	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = B )
49	36, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = B )
50	42, 44, 49	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) = B )
51	50	breq2d 4105	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
52	40, 51	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
53	35, 52	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) ) )
54		mulcomnqg 7646	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
55	19, 18, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
56	55	breq2d 4105	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( A <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( m .Q C ) ) )
57	55	breq1d 4103	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q B <-> ( m .Q C ) <Q B ) )
58	56, 57	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
59	53, 58	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
60	59	biimpd 144	. . 3 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
61	60	reximdva 2635	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
62	13, 61	mpd 13	1 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Q.cnq 7543   1Qc1q 7544   .Q cmq 7546   *Qcrq 7547   <Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7827  mullocpr  7834