Theorem appdivnq 7746

Description: Approximate division for positive rationals. Proposition 12.7 of [BauerTaylor], p. 55 (a special case where A and B are positive, as well as C). Our proof is simpler than the one in BauerTaylor because we have reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdivnq	|- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   C, m

Proof of Theorem appdivnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A <Q B )
2		ltrelnq 7548	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4770	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
5	4	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A e. Q. )
6	4	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> B e. Q. )
7		recclnq 7575	. . . . . 6 |- ( C e. Q. -> ( *Q ` C ) e. Q. )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
9		ltmnqg 7584	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) )
12		ltbtwnnqq 7598	. . 3 |- ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
13	11, 12	sylib 122	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
14	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( *Q ` C ) e. Q. )
15	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> A e. Q. )
16		mulclnq 7559	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> m e. Q. )
19		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> C e. Q. )
20		ltmnqg 7584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) e. Q. /\ m e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) ) )
22		recidnq 7576	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Q. -> ( C .Q ( *Q ` C ) ) = 1Q )
23	22	oveq1d 6015	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
24	23	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( 1Q .Q A ) )
25		mulassnqg 7567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
26	19, 14, 15, 25	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q A ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) )
27		1nq 7549	. . . . . . . . . . . 12 |- 1Q e. Q.
28		mulcomnqg 7566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = ( A .Q 1Q ) )
30		mulidnq 7572	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Q. -> ( A .Q 1Q ) = A )
31	29, 30	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Q. -> ( 1Q .Q A ) = A )
32	15, 31	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q A ) = A )
33	24, 26, 32	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) = A )
34	33	breq1d 4092	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q A ) ) <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
35	21, 34	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m <-> A <Q ( C .Q m ) ) )
36	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> B e. Q. )
37		mulclnq 7559	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
38	14, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. )
39		ltmnqg 7584	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Q. /\ ( ( *Q ` C ) .Q B ) e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
40	18, 38, 19, 39	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) ) )
41	22	oveq1d 6015	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. Q. -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
42	41	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( 1Q .Q B ) )
43		mulassnqg 7567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ ( *Q ` C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
44	19, 14, 36, 43	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q ( *Q ` C ) ) .Q B ) = ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) )
45		mulcomnqg 7566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1Q e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
46	27, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = ( B .Q 1Q ) )
47		mulidnq 7572	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Q. -> ( B .Q 1Q ) = B )
48	46, 47	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Q. -> ( 1Q .Q B ) = B )
49	36, 48	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( 1Q .Q B ) = B )
50	42, 44, 49	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) = B )
51	50	breq2d 4094	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q ( C .Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
52	40, 51	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) <-> ( C .Q m ) <Q B ) )
53	35, 52	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) ) )
54		mulcomnqg 7566	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
55	19, 18, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( C .Q m ) = ( m .Q C ) )
56	55	breq2d 4094	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( A <Q ( C .Q m ) <-> A <Q ( m .Q C ) ) )
57	55	breq1d 4092	. . . . . 6 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( C .Q m ) <Q B <-> ( m .Q C ) <Q B ) )
58	56, 57	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( A <Q ( C .Q m ) /\ ( C .Q m ) <Q B ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
59	53, 58	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) <-> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
60	59	biimpd 144	. . 3 |- ( ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) /\ m e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
61	60	reximdva 2632	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( E. m e. Q. ( ( ( *Q ` C ) .Q A ) <Q m /\ m <Q ( ( *Q ` C ) .Q B ) ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) ) )
62	13, 61	mpd 13	1 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> E. m e. Q. ( A <Q ( m .Q C ) /\ ( m .Q C ) <Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Q.cnq 7463   1Qc1q 7464   .Q cmq 7466   *Qcrq 7467   <Q cltq 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536

This theorem is referenced by:  appdiv0nq  7747  mullocpr  7754