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Theorem cauappcvgprlemm 7421
Description: Lemma for cauappcvgpr 7438. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemm  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5389 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1Q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  1Q ) )
21breq2d 3911 . . . . . 6  |-  ( p  =  1Q  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  1Q ) ) )
3 cauappcvgpr.bnd . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
4 1nq 7142 . . . . . . 7  |-  1Q  e.  Q.
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1Q  e.  Q. )
62, 3, 5rspcdva 2768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <Q  ( F `  1Q ) )
7 ltrelnq 7141 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
87brel 4561 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  ( A  e. 
Q.  /\  ( F `  1Q )  e.  Q. ) )
98simpld 111 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  A  e.  Q. )
106, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
11 halfnqq 7186 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s )  =  A )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s
)  =  A )
13 simplr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  Q. )
143ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
15 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  s  ->  ( F `  p )  =  ( F `  s ) )
1615breq2d 3911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  s  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1716rspcv 2759 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s
) ) )
1817ad2antlr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( A. p  e. 
Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1914, 18mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A  <Q  ( F `  s ) )
20 breq1 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  (
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
2120adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )  <->  A 
<Q  ( F `  s
) ) )
2219, 21mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )
23 oveq2 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  s ) )
24 fveq2 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  ( F `  q )  =  ( F `  s ) )
2523, 24breq12d 3912 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  s  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )
) )
2625rspcev 2763 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
2713, 22, 26syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
28 oveq1 5749 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
2928breq1d 3909 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3029rexbidv 2415 . . . . . . 7  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
31 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . 9  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
3231fveq2i 5392 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
33 nqex 7139 . . . . . . . . . 10  |-  Q.  e.  _V
3433rabex 4042 . . . . . . . . 9  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
3533rabex 4042 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
3634, 35op1st 6012 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3732, 36eqtri 2138 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3830, 37elrab2 2816 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3913, 27, 38sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
4039ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  Q. )  ->  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
4140reximdva 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  +Q  s )  =  A  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) ) )
4212, 41mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) )
43 cauappcvgpr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4443, 5ffvelrnd 5524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1Q )  e.  Q. )
45 addclnq 7151 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4644, 5, 45syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
47 addclnq 7151 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4846, 5, 47syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
49 ltaddnq 7183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q 
( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
5046, 5, 49syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
51 fveq2 5389 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  ( F `  q )  =  ( F `  1Q ) )
52 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  q  =  1Q )
5351, 52oveq12d 5760 . . . . . . 7  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q ) )
5453breq1d 3909 . . . . . 6  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  <->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5554rspcev 2763 . . . . 5  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
565, 50, 55syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
57 breq2 3903 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5857rexbidv 2415 . . . . 5  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5931fveq2i 5392 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
6034, 35op2nd 6013 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6159, 60eqtri 2138 . . . . 5  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6258, 61elrab2 2816 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
6348, 56, 62sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) )
64 eleq1 2180 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
r  e.  ( 2nd `  L )  <->  ( (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) ) )
6564rspcev 2763 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6648, 63, 65syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6742, 66jca 304 1  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   {crab 2397   <.cop 3500   class class class wbr 3899   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1stc1st 6004   2ndc2nd 6005   Q.cnq 7056   1Qc1q 7057    +Q cplq 7058    <Q cltq 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7429
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