Theorem cauappcvgprlemm 7908

Description: Lemma for cauappcvgpr 7925. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemm	|- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( p = 1Q -> ( F ` p ) = ( F ` 1Q ) )
2	1	breq2d 4105	. . . . . 6 |- ( p = 1Q -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` 1Q ) ) )
3		cauappcvgpr.bnd	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
4		1nq 7629	. . . . . . 7 |- 1Q e. Q.
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1Q e. Q. )
6	2, 3, 5	rspcdva 2916	. . . . 5 |- ( ph -> A <Q ( F ` 1Q ) )
7		ltrelnq 7628	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
8	7	brel 4784	. . . . . 6 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> ( A e. Q. /\ ( F ` 1Q ) e. Q. ) )
9	8	simpld 112	. . . . 5 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> A e. Q. )
10	6, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A e. Q. )
11		halfnqq 7673	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
13		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. Q. )
14	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
15		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = s -> ( F ` p ) = ( F ` s ) )
16	15	breq2d 4105	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = s -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
17	16	rspcv 2907	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. Q. -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
19	14, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A <Q ( F ` s ) )
20		breq1 4096	. . . . . . . . 9 |- ( ( s +Q s ) = A -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) )
23		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( s +Q q ) = ( s +Q s ) )
24		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( F ` q ) = ( F ` s ) )
25	23, 24	breq12d 4106	. . . . . . . 8 |- ( q = s -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) )
26	25	rspcev 2911	. . . . . . 7 |- ( ( s e. Q. /\ ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
27	13, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
28		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
29	28	breq1d 4103	. . . . . . . 8 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
30	29	rexbidv 2534	. . . . . . 7 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
31		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . 9 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
32	31	fveq2i 5651	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
33		nqex 7626	. . . . . . . . . 10 |- Q. e. _V
34	33	rabex 4239	. . . . . . . . 9 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
35	33	rabex 4239	. . . . . . . . 9 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
36	34, 35	op1st 6318	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
37	32, 36	eqtri 2252	. . . . . . 7 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
38	30, 37	elrab2 2966	. . . . . 6 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
39	13, 27, 38	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. ( 1st ` L ) )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. Q. ) -> ( ( s +Q s ) = A -> s e. ( 1st ` L ) ) )
41	40	reximdva 2635	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s +Q s ) = A -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) ) )
42	12, 41	mpd 13	. 2 |- ( ph -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) )
43		cauappcvgpr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
44	43, 5	ffvelcdmd 5791	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1Q ) e. Q. )
45		addclnq 7638	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
46	44, 5, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
47		addclnq 7638	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
48	46, 5, 47	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
49		ltaddnq 7670	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
50	46, 5, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
51		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> ( F ` q ) = ( F ` 1Q ) )
52		id 19	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> q = 1Q )
53	51, 52	oveq12d 6046	. . . . . . 7 |- ( q = 1Q -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) )
54	53	breq1d 4103	. . . . . 6 |- ( q = 1Q -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) <-> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
55	54	rspcev 2911	. . . . 5 |- ( ( 1Q e. Q. /\ ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
56	5, 50, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
57		breq2 4097	. . . . . 6 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
58	57	rexbidv 2534	. . . . 5 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
59	31	fveq2i 5651	. . . . . 6 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
60	34, 35	op2nd 6319	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
61	59, 60	eqtri 2252	. . . . 5 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
62	58, 61	elrab2 2966	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
63	48, 56, 62	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) )
64		eleq1 2294	. . . 4 |- ( r = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) )
65	64	rspcev 2911	. . 3 |- ( ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
66	48, 63, 65	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
67	42, 66	jca 306	1 |- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   <.cop 3676   class class class wbr 4093   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311   Q.cnq 7543   1Qc1q 7544   +Q cplq 7545   <Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7916