Theorem cauappcvgprlemm 7607

Description: Lemma for cauappcvgpr 7624. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemm	|- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( p = 1Q -> ( F ` p ) = ( F ` 1Q ) )
2	1	breq2d 4001	. . . . . 6 |- ( p = 1Q -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` 1Q ) ) )
3		cauappcvgpr.bnd	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
4		1nq 7328	. . . . . . 7 |- 1Q e. Q.
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1Q e. Q. )
6	2, 3, 5	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ph -> A <Q ( F ` 1Q ) )
7		ltrelnq 7327	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
8	7	brel 4663	. . . . . 6 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> ( A e. Q. /\ ( F ` 1Q ) e. Q. ) )
9	8	simpld 111	. . . . 5 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> A e. Q. )
10	6, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A e. Q. )
11		halfnqq 7372	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
13		simplr 525	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. Q. )
14	3	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
15		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = s -> ( F ` p ) = ( F ` s ) )
16	15	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = s -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
17	16	rspcv 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. Q. -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
18	17	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
19	14, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A <Q ( F ` s ) )
20		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( ( s +Q s ) = A -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
21	20	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
22	19, 21	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) )
23		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( s +Q q ) = ( s +Q s ) )
24		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( F ` q ) = ( F ` s ) )
25	23, 24	breq12d 4002	. . . . . . . 8 |- ( q = s -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) )
26	25	rspcev 2834	. . . . . . 7 |- ( ( s e. Q. /\ ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
27	13, 22, 26	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
28		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
29	28	breq1d 3999	. . . . . . . 8 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
30	29	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
31		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . 9 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
32	31	fveq2i 5499	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
33		nqex 7325	. . . . . . . . . 10 |- Q. e. _V
34	33	rabex 4133	. . . . . . . . 9 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
35	33	rabex 4133	. . . . . . . . 9 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
36	34, 35	op1st 6125	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
37	32, 36	eqtri 2191	. . . . . . 7 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
38	30, 37	elrab2 2889	. . . . . 6 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
39	13, 27, 38	sylanbrc 415	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. ( 1st ` L ) )
40	39	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. Q. ) -> ( ( s +Q s ) = A -> s e. ( 1st ` L ) ) )
41	40	reximdva 2572	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s +Q s ) = A -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) ) )
42	12, 41	mpd 13	. 2 |- ( ph -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) )
43		cauappcvgpr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
44	43, 5	ffvelrnd 5632	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1Q ) e. Q. )
45		addclnq 7337	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
46	44, 5, 45	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
47		addclnq 7337	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
48	46, 5, 47	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
49		ltaddnq 7369	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
50	46, 5, 49	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
51		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> ( F ` q ) = ( F ` 1Q ) )
52		id 19	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> q = 1Q )
53	51, 52	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( q = 1Q -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) )
54	53	breq1d 3999	. . . . . 6 |- ( q = 1Q -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) <-> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
55	54	rspcev 2834	. . . . 5 |- ( ( 1Q e. Q. /\ ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
56	5, 50, 55	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
57		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
58	57	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
59	31	fveq2i 5499	. . . . . 6 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
60	34, 35	op2nd 6126	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
61	59, 60	eqtri 2191	. . . . 5 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
62	58, 61	elrab2 2889	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
63	48, 56, 62	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) )
64		eleq1 2233	. . . 4 |- ( r = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) )
65	64	rspcev 2834	. . 3 |- ( ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
66	48, 63, 65	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
67	42, 66	jca 304	1 |- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   <.cop 3586   class class class wbr 3989   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Q.cnq 7242   1Qc1q 7243   +Q cplq 7244   <Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7615