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Theorem cauappcvgprlemm 7446
Description: Lemma for cauappcvgpr 7463. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemm  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5414 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1Q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  1Q ) )
21breq2d 3936 . . . . . 6  |-  ( p  =  1Q  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  1Q ) ) )
3 cauappcvgpr.bnd . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
4 1nq 7167 . . . . . . 7  |-  1Q  e.  Q.
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1Q  e.  Q. )
62, 3, 5rspcdva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <Q  ( F `  1Q ) )
7 ltrelnq 7166 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
87brel 4586 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  ( A  e. 
Q.  /\  ( F `  1Q )  e.  Q. ) )
98simpld 111 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  A  e.  Q. )
106, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
11 halfnqq 7211 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s )  =  A )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s
)  =  A )
13 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  Q. )
143ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
15 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  s  ->  ( F `  p )  =  ( F `  s ) )
1615breq2d 3936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  s  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1716rspcv 2780 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s
) ) )
1817ad2antlr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( A. p  e. 
Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1914, 18mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A  <Q  ( F `  s ) )
20 breq1 3927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  (
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
2120adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )  <->  A 
<Q  ( F `  s
) ) )
2219, 21mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )
23 oveq2 5775 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  s ) )
24 fveq2 5414 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  ( F `  q )  =  ( F `  s ) )
2523, 24breq12d 3937 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  s  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )
) )
2625rspcev 2784 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
2713, 22, 26syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
28 oveq1 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
2928breq1d 3934 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3029rexbidv 2436 . . . . . . 7  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
31 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . 9  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
3231fveq2i 5417 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
33 nqex 7164 . . . . . . . . . 10  |-  Q.  e.  _V
3433rabex 4067 . . . . . . . . 9  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
3533rabex 4067 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
3634, 35op1st 6037 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3732, 36eqtri 2158 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3830, 37elrab2 2838 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3913, 27, 38sylanbrc 413 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
4039ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  Q. )  ->  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
4140reximdva 2532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  +Q  s )  =  A  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) ) )
4212, 41mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) )
43 cauappcvgpr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4443, 5ffvelrnd 5549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1Q )  e.  Q. )
45 addclnq 7176 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4644, 5, 45syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
47 addclnq 7176 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4846, 5, 47syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
49 ltaddnq 7208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q 
( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
5046, 5, 49syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
51 fveq2 5414 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  ( F `  q )  =  ( F `  1Q ) )
52 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  q  =  1Q )
5351, 52oveq12d 5785 . . . . . . 7  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q ) )
5453breq1d 3934 . . . . . 6  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  <->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5554rspcev 2784 . . . . 5  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
565, 50, 55syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
57 breq2 3928 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5857rexbidv 2436 . . . . 5  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5931fveq2i 5417 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
6034, 35op2nd 6038 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6159, 60eqtri 2158 . . . . 5  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6258, 61elrab2 2838 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
6348, 56, 62sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) )
64 eleq1 2200 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
r  e.  ( 2nd `  L )  <->  ( (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) ) )
6564rspcev 2784 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6648, 63, 65syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6742, 66jca 304 1  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418   <.cop 3525   class class class wbr 3924   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   1stc1st 6029   2ndc2nd 6030   Q.cnq 7081   1Qc1q 7082    +Q cplq 7083    <Q cltq 7086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7454
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