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Theorem cauappcvgprlemm 7658
Description: Lemma for cauappcvgpr 7675. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemm  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5527 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1Q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  1Q ) )
21breq2d 4027 . . . . . 6  |-  ( p  =  1Q  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  1Q ) ) )
3 cauappcvgpr.bnd . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
4 1nq 7379 . . . . . . 7  |-  1Q  e.  Q.
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1Q  e.  Q. )
62, 3, 5rspcdva 2858 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <Q  ( F `  1Q ) )
7 ltrelnq 7378 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
87brel 4690 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  ( A  e. 
Q.  /\  ( F `  1Q )  e.  Q. ) )
98simpld 112 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  A  e.  Q. )
106, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
11 halfnqq 7423 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s )  =  A )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s
)  =  A )
13 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  Q. )
143ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
15 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  s  ->  ( F `  p )  =  ( F `  s ) )
1615breq2d 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  s  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1716rspcv 2849 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s
) ) )
1817ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( A. p  e. 
Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1914, 18mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A  <Q  ( F `  s ) )
20 breq1 4018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  (
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
2120adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )  <->  A 
<Q  ( F `  s
) ) )
2219, 21mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )
23 oveq2 5896 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  s ) )
24 fveq2 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  ( F `  q )  =  ( F `  s ) )
2523, 24breq12d 4028 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  s  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )
) )
2625rspcev 2853 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
2713, 22, 26syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
28 oveq1 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
2928breq1d 4025 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3029rexbidv 2488 . . . . . . 7  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
31 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . 9  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
3231fveq2i 5530 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
33 nqex 7376 . . . . . . . . . 10  |-  Q.  e.  _V
3433rabex 4159 . . . . . . . . 9  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
3533rabex 4159 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
3634, 35op1st 6161 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3732, 36eqtri 2208 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3830, 37elrab2 2908 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3913, 27, 38sylanbrc 417 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
4039ex 115 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  Q. )  ->  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
4140reximdva 2589 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  +Q  s )  =  A  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) ) )
4212, 41mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) )
43 cauappcvgpr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4443, 5ffvelcdmd 5665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1Q )  e.  Q. )
45 addclnq 7388 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4644, 5, 45syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
47 addclnq 7388 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4846, 5, 47syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
49 ltaddnq 7420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q 
( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
5046, 5, 49syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
51 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  ( F `  q )  =  ( F `  1Q ) )
52 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  q  =  1Q )
5351, 52oveq12d 5906 . . . . . . 7  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q ) )
5453breq1d 4025 . . . . . 6  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  <->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5554rspcev 2853 . . . . 5  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
565, 50, 55syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
57 breq2 4019 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5857rexbidv 2488 . . . . 5  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5931fveq2i 5530 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
6034, 35op2nd 6162 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6159, 60eqtri 2208 . . . . 5  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6258, 61elrab2 2908 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
6348, 56, 62sylanbrc 417 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) )
64 eleq1 2250 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
r  e.  ( 2nd `  L )  <->  ( (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) ) )
6564rspcev 2853 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6648, 63, 65syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6742, 66jca 306 1  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   {crab 2469   <.cop 3607   class class class wbr 4015   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1stc1st 6153   2ndc2nd 6154   Q.cnq 7293   1Qc1q 7294    +Q cplq 7295    <Q cltq 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7666
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