Theorem cauappcvgprlemm 7771

Description: Lemma for cauappcvgpr 7788. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemm	|- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5586	. . . . . . 7 |- ( p = 1Q -> ( F ` p ) = ( F ` 1Q ) )
2	1	breq2d 4060	. . . . . 6 |- ( p = 1Q -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` 1Q ) ) )
3		cauappcvgpr.bnd	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
4		1nq 7492	. . . . . . 7 |- 1Q e. Q.
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1Q e. Q. )
6	2, 3, 5	rspcdva 2884	. . . . 5 |- ( ph -> A <Q ( F ` 1Q ) )
7		ltrelnq 7491	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
8	7	brel 4732	. . . . . 6 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> ( A e. Q. /\ ( F ` 1Q ) e. Q. ) )
9	8	simpld 112	. . . . 5 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> A e. Q. )
10	6, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A e. Q. )
11		halfnqq 7536	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
13		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. Q. )
14	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
15		fveq2 5586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = s -> ( F ` p ) = ( F ` s ) )
16	15	breq2d 4060	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = s -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
17	16	rspcv 2875	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. Q. -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
19	14, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A <Q ( F ` s ) )
20		breq1 4051	. . . . . . . . 9 |- ( ( s +Q s ) = A -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) )
23		oveq2 5962	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( s +Q q ) = ( s +Q s ) )
24		fveq2 5586	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( F ` q ) = ( F ` s ) )
25	23, 24	breq12d 4061	. . . . . . . 8 |- ( q = s -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) )
26	25	rspcev 2879	. . . . . . 7 |- ( ( s e. Q. /\ ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
27	13, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
28		oveq1 5961	. . . . . . . . 9 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
29	28	breq1d 4058	. . . . . . . 8 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
30	29	rexbidv 2508	. . . . . . 7 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
31		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . 9 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
32	31	fveq2i 5589	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
33		nqex 7489	. . . . . . . . . 10 |- Q. e. _V
34	33	rabex 4193	. . . . . . . . 9 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
35	33	rabex 4193	. . . . . . . . 9 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
36	34, 35	op1st 6242	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
37	32, 36	eqtri 2227	. . . . . . 7 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
38	30, 37	elrab2 2934	. . . . . 6 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
39	13, 27, 38	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. ( 1st ` L ) )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. Q. ) -> ( ( s +Q s ) = A -> s e. ( 1st ` L ) ) )
41	40	reximdva 2609	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s +Q s ) = A -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) ) )
42	12, 41	mpd 13	. 2 |- ( ph -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) )
43		cauappcvgpr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
44	43, 5	ffvelcdmd 5726	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1Q ) e. Q. )
45		addclnq 7501	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
46	44, 5, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
47		addclnq 7501	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
48	46, 5, 47	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
49		ltaddnq 7533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
50	46, 5, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
51		fveq2 5586	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> ( F ` q ) = ( F ` 1Q ) )
52		id 19	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> q = 1Q )
53	51, 52	oveq12d 5972	. . . . . . 7 |- ( q = 1Q -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) )
54	53	breq1d 4058	. . . . . 6 |- ( q = 1Q -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) <-> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
55	54	rspcev 2879	. . . . 5 |- ( ( 1Q e. Q. /\ ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
56	5, 50, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
57		breq2 4052	. . . . . 6 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
58	57	rexbidv 2508	. . . . 5 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
59	31	fveq2i 5589	. . . . . 6 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
60	34, 35	op2nd 6243	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
61	59, 60	eqtri 2227	. . . . 5 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
62	58, 61	elrab2 2934	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
63	48, 56, 62	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) )
64		eleq1 2269	. . . 4 |- ( r = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) )
65	64	rspcev 2879	. . 3 |- ( ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
66	48, 63, 65	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
67	42, 66	jca 306	1 |- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   {crab 2489   <.cop 3638   class class class wbr 4048   -->wf 5273   ` cfv 5277  (class class class)co 5954   1stc1st 6234   2ndc2nd 6235   Q.cnq 7406   1Qc1q 7407   +Q cplq 7408   <Q cltq 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-eprel 4341  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-omul 6517  df-er 6630  df-ec 6632  df-qs 6636  df-ni 7430  df-pli 7431  df-mi 7432  df-lti 7433  df-plpq 7470  df-mpq 7471  df-enq 7473  df-nqqs 7474  df-plqqs 7475  df-mqqs 7476  df-1nqqs 7477  df-rq 7478  df-ltnqqs 7479

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7779