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Theorem cauappcvgprlemm 7265
Description: Lemma for cauappcvgpr 7282. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemm  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    L, r, s    A, s, p    F, l, u, p, q, r, s    ph, r,
s
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, r, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5318 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1Q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  1Q ) )
21breq2d 3863 . . . . . 6  |-  ( p  =  1Q  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  1Q ) ) )
3 cauappcvgpr.bnd . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
4 1nq 6986 . . . . . . 7  |-  1Q  e.  Q.
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1Q  e.  Q. )
62, 3, 5rspcdva 2728 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <Q  ( F `  1Q ) )
7 ltrelnq 6985 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
87brel 4503 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  ( A  e. 
Q.  /\  ( F `  1Q )  e.  Q. ) )
98simpld 111 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  ( F `  1Q )  ->  A  e.  Q. )
106, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
11 halfnqq 7030 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s )  =  A )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  ( s  +Q  s
)  =  A )
13 simplr 498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  Q. )
143ad2antrr 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
15 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  s  ->  ( F `  p )  =  ( F `  s ) )
1615breq2d 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  s  ->  ( A  <Q  ( F `  p )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1716rspcv 2719 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s
) ) )
1817ad2antlr 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( A. p  e. 
Q.  A  <Q  ( F `  p )  ->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
1914, 18mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  A  <Q  ( F `  s ) )
20 breq1 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  (
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s )  <->  A  <Q  ( F `  s ) ) )
2120adantl 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )  <->  A 
<Q  ( F `  s
) ) )
2219, 21mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )
23 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  (
s  +Q  q )  =  ( s  +Q  s ) )
24 fveq2 5318 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  s  ->  ( F `  q )  =  ( F `  s ) )
2523, 24breq12d 3864 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  s  ->  (
( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  s )  <Q  ( F `  s )
) )
2625rspcev 2723 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  Q.  /\  ( s  +Q  s
)  <Q  ( F `  s ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
2713, 22, 26syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  ->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) )
28 oveq1 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  s  ->  (
l  +Q  q )  =  ( s  +Q  q ) )
2928breq1d 3861 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  s  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3029rexbidv 2382 . . . . . . 7  |-  ( l  =  s  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
31 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . 9  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
3231fveq2i 5321 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  L )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
33 nqex 6983 . . . . . . . . . 10  |-  Q.  e.  _V
3433rabex 3989 . . . . . . . . 9  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  e.  _V
3533rabex 3989 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  e.  _V
3634, 35op1st 5931 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3732, 36eqtri 2109 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  L )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) }
3830, 37elrab2 2775 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 1st `  L
)  <->  ( s  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( s  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
3913, 27, 38sylanbrc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  Q. )  /\  (
s  +Q  s )  =  A )  -> 
s  e.  ( 1st `  L ) )
4039ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  Q. )  ->  ( ( s  +Q  s )  =  A  ->  s  e.  ( 1st `  L
) ) )
4140reximdva 2476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  +Q  s )  =  A  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) ) )
4212, 41mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  Q.  s  e.  ( 1st `  L ) )
43 cauappcvgpr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
4443, 5ffvelrnd 5449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1Q )  e.  Q. )
45 addclnq 6995 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4644, 5, 45syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
47 addclnq 6995 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e. 
Q. )
4846, 5, 47syl2anc 404 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q. )
49 ltaddnq 7027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  ->  (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q 
( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
5046, 5, 49syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
51 fveq2 5318 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  ( F `  q )  =  ( F `  1Q ) )
52 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  1Q  ->  q  =  1Q )
5351, 52oveq12d 5684 . . . . . . 7  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q ) )
5453breq1d 3861 . . . . . 6  |-  ( q  =  1Q  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  <->  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5554rspcev 2723 . . . . 5  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
565, 50, 55syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) )
57 breq2 3855 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5857rexbidv 2382 . . . . 5  |-  ( u  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
5931fveq2i 5321 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  L )  =  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >. )
6034, 35op2nd 5932 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6159, 60eqtri 2109 . . . . 5  |-  ( 2nd `  L )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u }
6258, 61elrab2 2775 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
)  <->  ( ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q ) ) )
6348, 56, 62sylanbrc 409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) )
64 eleq1 2151 . . . 4  |-  ( r  =  ( ( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  ->  (
r  e.  ( 2nd `  L )  <->  ( (
( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L ) ) )
6564rspcev 2723 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F `
 1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  (
( ( F `  1Q )  +Q  1Q )  +Q  1Q )  e.  ( 2nd `  L
) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6648, 63, 65syl2anc 404 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) )
6742, 66jca 301 1  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  s  e.  ( 1st `  L )  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  ( 2nd `  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   {crab 2364   <.cop 3453   class class class wbr 3851   -->wf 5024   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1stc1st 5923   2ndc2nd 5924   Q.cnq 6900   1Qc1q 6901    +Q cplq 6902    <Q cltq 6905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7273
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