Theorem cauappcvgprlemm 7265

Description: Lemma for cauappcvgpr 7282. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemm	|- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   L, r, s   A, s, p   F, l, u, p, q, r, s   ph, r, s

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, r, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5318	. . . . . . 7 |- ( p = 1Q -> ( F ` p ) = ( F ` 1Q ) )
2	1	breq2d 3863	. . . . . 6 |- ( p = 1Q -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` 1Q ) ) )
3		cauappcvgpr.bnd	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
4		1nq 6986	. . . . . . 7 |- 1Q e. Q.
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1Q e. Q. )
6	2, 3, 5	rspcdva 2728	. . . . 5 |- ( ph -> A <Q ( F ` 1Q ) )
7		ltrelnq 6985	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
8	7	brel 4503	. . . . . 6 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> ( A e. Q. /\ ( F ` 1Q ) e. Q. ) )
9	8	simpld 111	. . . . 5 |- ( A <Q ( F ` 1Q ) -> A e. Q. )
10	6, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A e. Q. )
11		halfnqq 7030	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E. s e. Q. ( s +Q s ) = A )
13		simplr 498	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. Q. )
14	3	ad2antrr 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
15		fveq2 5318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = s -> ( F ` p ) = ( F ` s ) )
16	15	breq2d 3863	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = s -> ( A <Q ( F ` p ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
17	16	rspcv 2719	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. Q. -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
18	17	ad2antlr 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) -> A <Q ( F ` s ) ) )
19	14, 18	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> A <Q ( F ` s ) )
20		breq1 3854	. . . . . . . . 9 |- ( ( s +Q s ) = A -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
21	20	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) <-> A <Q ( F ` s ) ) )
22	19, 21	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) )
23		oveq2 5674	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( s +Q q ) = ( s +Q s ) )
24		fveq2 5318	. . . . . . . . 9 |- ( q = s -> ( F ` q ) = ( F ` s ) )
25	23, 24	breq12d 3864	. . . . . . . 8 |- ( q = s -> ( ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) )
26	25	rspcev 2723	. . . . . . 7 |- ( ( s e. Q. /\ ( s +Q s ) <Q ( F ` s ) ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
27	13, 22, 26	syl2anc 404	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) )
28		oveq1 5673	. . . . . . . . 9 |- ( l = s -> ( l +Q q ) = ( s +Q q ) )
29	28	breq1d 3861	. . . . . . . 8 |- ( l = s -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
30	29	rexbidv 2382	. . . . . . 7 |- ( l = s -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
31		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . 9 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
32	31	fveq2i 5321	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` L ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
33		nqex 6983	. . . . . . . . . 10 |- Q. e. _V
34	33	rabex 3989	. . . . . . . . 9 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } e. _V
35	33	rabex 3989	. . . . . . . . 9 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } e. _V
36	34, 35	op1st 5931	. . . . . . . 8 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
37	32, 36	eqtri 2109	. . . . . . 7 |- ( 1st ` L ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) }
38	30, 37	elrab2 2775	. . . . . 6 |- ( s e. ( 1st ` L ) <-> ( s e. Q. /\ E. q e. Q. ( s +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
39	13, 27, 38	sylanbrc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. Q. ) /\ ( s +Q s ) = A ) -> s e. ( 1st ` L ) )
40	39	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. Q. ) -> ( ( s +Q s ) = A -> s e. ( 1st ` L ) ) )
41	40	reximdva 2476	. . 3 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s +Q s ) = A -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) ) )
42	12, 41	mpd 13	. 2 |- ( ph -> E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) )
43		cauappcvgpr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
44	43, 5	ffvelrnd 5449	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1Q ) e. Q. )
45		addclnq 6995	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
46	44, 5, 45	syl2anc 404	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
47		addclnq 6995	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
48	46, 5, 47	syl2anc 404	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. )
49		ltaddnq 7027	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
50	46, 5, 49	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
51		fveq2 5318	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> ( F ` q ) = ( F ` 1Q ) )
52		id 19	. . . . . . . 8 |- ( q = 1Q -> q = 1Q )
53	51, 52	oveq12d 5684	. . . . . . 7 |- ( q = 1Q -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) )
54	53	breq1d 3861	. . . . . 6 |- ( q = 1Q -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) <-> ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
55	54	rspcev 2723	. . . . 5 |- ( ( 1Q e. Q. /\ ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
56	5, 50, 55	syl2anc 404	. . . 4 |- ( ph -> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) )
57		breq2 3855	. . . . . 6 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
58	57	rexbidv 2382	. . . . 5 |- ( u = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
59	31	fveq2i 5321	. . . . . 6 |- ( 2nd ` L ) = ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. )
60	34, 35	op2nd 5932	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
61	59, 60	eqtri 2109	. . . . 5 |- ( 2nd ` L ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u }
62	58, 61	elrab2 2775	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) ) )
63	48, 56, 62	sylanbrc 409	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) )
64		eleq1 2151	. . . 4 |- ( r = ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) -> ( r e. ( 2nd ` L ) <-> ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) )
65	64	rspcev 2723	. . 3 |- ( ( ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. Q. /\ ( ( ( F ` 1Q ) +Q 1Q ) +Q 1Q ) e. ( 2nd ` L ) ) -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
66	48, 63, 65	syl2anc 404	. 2 |- ( ph -> E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) )
67	42, 66	jca 301	1 |- ( ph -> ( E. s e. Q. s e. ( 1st ` L ) /\ E. r e. Q. r e. ( 2nd ` L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   {crab 2364   <.cop 3453   class class class wbr 3851   -->wf 5024   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1stc1st 5923   2ndc2nd 5924   Q.cnq 6900   1Qc1q 6901   +Q cplq 6902   <Q cltq 6905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7273