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Theorem addnqprllem 7528
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X <Q S )
2 ltrnqi 7422 . . . . . 6 |- ( X <Q S -> ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) )
3 ltrelnq 7366 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43brel 4680 . . . . . . . . . . 11 |- ( X <Q S -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
54adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
65simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> S e. Q. )
7 recclnq 7393 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
9 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X e. Q. )
10 recclnq 7393 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
12 ltmnqg 7402 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` S ) e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1238 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
14 ltmnqg 7402 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7377 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
179, 8, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7377 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
199, 11, 18syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
20 elprnql 7482 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7384 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6046 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 188 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
262, 25imbitrid 154 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7394 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5892 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7367 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7384 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7390 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2210 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2232 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq2d 4017 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3721, 9, 36syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3827, 37mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G )
39 prcdnql 7485 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4039ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L )
4241ex 115 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Q.cnq 7281   1Qc1q 7282   .Q cmq 7284   *Qcrq 7285   <Q cltq 7286   P.cnp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-lti 7308  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-inp 7467
This theorem is referenced by:  addnqprl  7530
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