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Theorem addnqprllem 7335
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X <Q S )
2 ltrnqi 7229 . . . . . 6 |- ( X <Q S -> ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) )
3 ltrelnq 7173 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43brel 4591 . . . . . . . . . . 11 |- ( X <Q S -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
54adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
65simprd 113 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> S e. Q. )
7 recclnq 7200 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
9 simplr 519 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X e. Q. )
10 recclnq 7200 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
12 ltmnqg 7209 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` S ) e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1216 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
14 ltmnqg 7209 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7184 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
179, 8, 16syl2anc 408 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7184 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
199, 11, 18syl2anc 408 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
20 elprnql 7289 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 479 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7191 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5940 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 187 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
262, 25syl5ib 153 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7201 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5789 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7174 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7191 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 420 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7197 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2172 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2194 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq2d 3941 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3721, 9, 36syl2anc 408 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3827, 37mpbid 146 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G )
39 prcdnql 7292 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4039ad2antrr 479 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L )
4241ex 114 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Q.cnq 7088   1Qc1q 7089   .Q cmq 7091   *Qcrq 7092   <Q cltq 7093   P.cnp 7099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-lti 7115  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-inp 7274
This theorem is referenced by:  addnqprl  7337
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