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Theorem addnqprllem 7888
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X <Q S )
2 ltrnqi 7782 . . . . . 6 |- ( X <Q S -> ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) )
3 ltrelnq 7726 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43brel 4825 . . . . . . . . . . 11 |- ( X <Q S -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
54adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
65simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> S e. Q. )
7 recclnq 7753 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
9 simplr 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X e. Q. )
10 recclnq 7753 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
12 ltmnqg 7762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` S ) e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1278 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
14 ltmnqg 7762 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7737 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
179, 8, 16syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7737 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
199, 11, 18syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
20 elprnql 7842 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7744 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6253 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 188 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
262, 25imbitrid 154 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7754 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 6094 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7727 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7744 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 428 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7750 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2293 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq2d 4140 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3721, 9, 36syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3827, 37mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G )
39 prcdnql 7845 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4039ad2antrr 492 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L )
4241ex 115 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3711   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Q.cnq 7641   1Qc1q 7642   .Q cmq 7644   *Qcrq 7645   <Q cltq 7646   P.cnp 7652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-lti 7668  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714  df-inp 7827
This theorem is referenced by:  addnqprl  7890
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