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Theorem addnqprllem 7489
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X <Q S )
2 ltrnqi 7383 . . . . . 6 |- ( X <Q S -> ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) )
3 ltrelnq 7327 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43brel 4663 . . . . . . . . . . 11 |- ( X <Q S -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
54adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
65simprd 113 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> S e. Q. )
7 recclnq 7354 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
9 simplr 525 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X e. Q. )
10 recclnq 7354 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
12 ltmnqg 7363 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` S ) e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1233 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
14 ltmnqg 7363 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7338 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
179, 8, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7338 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
199, 11, 18syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
20 elprnql 7443 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 485 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7345 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 6022 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 187 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
262, 25syl5ib 153 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7355 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5868 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7328 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7345 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 422 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7351 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2203 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2225 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq2d 4001 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3721, 9, 36syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3827, 37mpbid 146 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G )
39 prcdnql 7446 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4039ad2antrr 485 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L )
4241ex 114 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Q.cnq 7242   1Qc1q 7243   .Q cmq 7245   *Qcrq 7246   <Q cltq 7247   P.cnp 7253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428
This theorem is referenced by:  addnqprl  7491
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