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Theorem addnqprllem 7084
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  <Q  S  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )

Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  X  <Q  S )
2 ltrnqi 6978 . . . . . 6  |-  ( X 
<Q  S  ->  ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
) )
3 ltrelnq 6922 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
43brel 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
<Q  S  ->  ( X  e.  Q.  /\  S  e.  Q. ) )
54adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  e. 
Q.  /\  S  e.  Q. ) )
65simprd 112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  S  e.  Q. )
7 recclnq 6949 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Q.  ->  ( *Q `  S )  e. 
Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( *Q `  S )  e.  Q. )
9 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  X  e.  Q. )
10 recclnq 6949 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( *Q `  X )  e. 
Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( *Q `  X )  e.  Q. )
12 ltmnqg 6958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  S
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  (
( *Q `  S
)  <Q  ( *Q `  X )  <->  ( X  .Q  ( *Q `  S
) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
)  <->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  X
) ) ) )
14 ltmnqg 6958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
1514adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )  -> 
( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y ) 
<Q  ( w  .Q  z
) ) )
16 mulclnq 6933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  S )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
179, 8, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
18 mulclnq 6933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
199, 11, 18syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
20 elprnql 7038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  ->  G  e.  Q. )
2120ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  G  e.  Q. )
22 mulcomnqg 6940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
2322adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <Q 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
2513, 24bitrd 186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
)  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
262, 25syl5ib 152 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  <Q  S  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) )
28 recidnq 6950 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  =  1Q )
2928oveq1d 5667 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Q.  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  ( 1Q  .Q  G
) )
30 1nq 6923 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
31 mulcomnqg 6940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  G  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  G
)  =  ( G  .Q  1Q ) )
3230, 31mpan 415 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  ( G  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 6946 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( G  .Q  1Q )  =  G )
3432, 33eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  G )
3529, 34sylan9eqr 2142 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  G )
3635breq2d 3857 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  G ) )
3721, 9, 36syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  <Q 
( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  G ) )
3827, 37mpbid 145 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  G )
39 prcdnql 7041 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  ->  (
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  G  ->  ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )
4039ad2antrr 472 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  <Q  G  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L
) )
4138, 40mpd 13 . 2  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L
)
4241ex 113 1  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  <Q  S  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Q.cnq 6837   1Qc1q 6838    .Q cmq 6840   *Qcrq 6841    <Q cltq 6842   P.cnp 6848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-mi 6863  df-lti 6864  df-mpq 6902  df-enq 6904  df-nqqs 6905  df-mqqs 6907  df-1nqqs 6908  df-rq 6909  df-ltnqqs 6910  df-inp 7023
This theorem is referenced by:  addnqprl  7086
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