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Theorem addnqprllem 7430
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X <Q S )
2 ltrnqi 7324 . . . . . 6 |- ( X <Q S -> ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) )
3 ltrelnq 7268 . . . . . . . . . . . 12 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43brel 4635 . . . . . . . . . . 11 |- ( X <Q S -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
54adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X e. Q. /\ S e. Q. ) )
65simprd 113 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> S e. Q. )
7 recclnq 7295 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Q. -> ( *Q ` S ) e. Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` S ) e. Q. )
9 simplr 520 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> X e. Q. )
10 recclnq 7295 . . . . . . . . 9 |- ( X e. Q. -> ( *Q ` X ) e. Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( *Q ` X ) e. Q. )
12 ltmnqg 7304 . . . . . . . 8 |- ( ( ( *Q ` S ) e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1220 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) ) )
14 ltmnqg 7304 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
1514adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
16 mulclnq 7279 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` S ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
179, 8, 16syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` S ) ) e. Q. )
18 mulclnq 7279 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Q. /\ ( *Q ` X ) e. Q. ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
199, 11, 18syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) e. Q. )
20 elprnql 7384 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> G e. Q. )
2120ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> G e. Q. )
22 mulcomnqg 7286 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2322adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5984 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) <Q ( X .Q ( *Q ` X ) ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
2513, 24bitrd 187 . . . . . 6 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( *Q ` S ) <Q ( *Q ` X ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
262, 25syl5ib 153 . . . . 5 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) )
28 recidnq 7296 . . . . . . . 8 |- ( X e. Q. -> ( X .Q ( *Q ` X ) ) = 1Q )
2928oveq1d 5833 . . . . . . 7 |- ( X e. Q. -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = ( 1Q .Q G ) )
30 1nq 7269 . . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
31 mulcomnqg 7286 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1Q e. Q. /\ G e. Q. ) -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
3230, 31mpan 421 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = ( G .Q 1Q ) )
33 mulidnq 7292 . . . . . . . 8 |- ( G e. Q. -> ( G .Q 1Q ) = G )
3432, 33eqtrd 2190 . . . . . . 7 |- ( G e. Q. -> ( 1Q .Q G ) = G )
3529, 34sylan9eqr 2212 . . . . . 6 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) = G )
3635breq2d 3977 . . . . 5 |- ( ( G e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3721, 9, 36syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q ( ( X .Q ( *Q ` X ) ) .Q G ) <-> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G ) )
3827, 37mpbid 146 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G )
39 prcdnql 7387 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4039ad2antrr 480 . . 3 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) <Q G -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
4138, 40mpd 13 . 2 |- ( ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) /\ X <Q S ) -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L )
4241ex 114 1 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ G e. L ) /\ X e. Q. ) -> ( X <Q S -> ( ( X .Q ( *Q ` S ) ) .Q G ) e. L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   <.cop 3563   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   Q.cnq 7183   1Qc1q 7184   .Q cmq 7186   *Qcrq 7187   <Q cltq 7188   P.cnp 7194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4248  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-omul 6362  df-er 6473  df-ec 6475  df-qs 6479  df-ni 7207  df-mi 7209  df-lti 7210  df-mpq 7248  df-enq 7250  df-nqqs 7251  df-mqqs 7253  df-1nqqs 7254  df-rq 7255  df-ltnqqs 7256  df-inp 7369
This theorem is referenced by:  addnqprl  7432
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