Theorem 1nq 7198

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7147	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4579	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 423	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7192	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6491	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7183	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7180	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2222	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535   × cxp 4545  1_oc1o 6314  [cec 6435   / cqs 6436  Ncnpi 7104   ~_Q ceq 7111  Qcnq 7112  1_Qc1q 7113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-1o 6321  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-1nqqs 7183

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7223  rec1nq  7227  ltaddnq  7239  halfnqq  7242  addnqprllem  7359  addnqprulem  7360  1pr  7386  addnqpr1  7394  appdivnq  7395  1idprl  7422  1idpru  7423  recexprlemm  7456  recexprlem1ssl  7465  recexprlem1ssu  7466  cauappcvgprlemm  7477  caucvgprlemm  7500  caucvgprprlemmu  7527  suplocexprlemmu  7550