Theorem 1nq 7553

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7502	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4751	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7547	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6736	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7538	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7535	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2311	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   × cxp 4717  1_oc1o 6555  [cec 6678   / cqs 6679  Ncnpi 7459   ~_Q ceq 7466  Qcnq 7467  1_Qc1q 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-1o 6562  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-1nqqs 7538

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7578  rec1nq  7582  ltaddnq  7594  halfnqq  7597  addnqprllem  7714  addnqprulem  7715  1pr  7741  addnqpr1  7749  appdivnq  7750  1idprl  7777  1idpru  7778  recexprlemm  7811  recexprlem1ssl  7820  recexprlem1ssu  7821  cauappcvgprlemm  7832  caucvgprlemm  7855  caucvgprprlemmu  7882  suplocexprlemmu  7905