Theorem 1nq 7727

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7676	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4804	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 430	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7721	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6857	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7712	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7709	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2320	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711   × cxp 4770  1_oc1o 6674  [cec 6799   / cqs 6800  Ncnpi 7633   ~_Q ceq 7640  Qcnq 7641  1_Qc1q 7642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-1o 6681  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-1nqqs 7712

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7752  rec1nq  7756  ltaddnq  7768  halfnqq  7771  addnqprllem  7888  addnqprulem  7889  1pr  7915  addnqpr1  7923  appdivnq  7924  1idprl  7951  1idpru  7952  recexprlemm  7985  recexprlem1ssl  7994  recexprlem1ssu  7995  cauappcvgprlemm  8006  caucvgprlemm  8029  caucvgprprlemmu  8056  suplocexprlemmu  8079