Theorem 1nq 7428

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7377	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4692	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7422	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6645	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7413	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7410	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2275	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3622   × cxp 4658  1_oc1o 6464  [cec 6587   / cqs 6588  Ncnpi 7334   ~_Q ceq 7341  Qcnq 7342  1_Qc1q 7343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-1o 6471  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-1nqqs 7413

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7453  rec1nq  7457  ltaddnq  7469  halfnqq  7472  addnqprllem  7589  addnqprulem  7590  1pr  7616  addnqpr1  7624  appdivnq  7625  1idprl  7652  1idpru  7653  recexprlemm  7686  recexprlem1ssl  7695  recexprlem1ssu  7696  cauappcvgprlemm  7707  caucvgprlemm  7730  caucvgprprlemmu  7757  suplocexprlemmu  7780