Theorem 1nq 7269

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7218	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4615	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 423	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7263	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6527	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7254	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7251	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2239	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2128  ⟨cop 3563   × cxp 4581  1_oc1o 6350  [cec 6471   / cqs 6472  Ncnpi 7175   ~_Q ceq 7182  Qcnq 7183  1_Qc1q 7184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-cnv 4591  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-1o 6357  df-ec 6475  df-qs 6479  df-ni 7207  df-enq 7250  df-nqqs 7251  df-1nqqs 7254

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7294  rec1nq  7298  ltaddnq  7310  halfnqq  7313  addnqprllem  7430  addnqprulem  7431  1pr  7457  addnqpr1  7465  appdivnq  7466  1idprl  7493  1idpru  7494  recexprlemm  7527  recexprlem1ssl  7536  recexprlem1ssu  7537  cauappcvgprlemm  7548  caucvgprlemm  7571  caucvgprprlemmu  7598  suplocexprlemmu  7621