Theorem 1nq 7561

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7510	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4751	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7555	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6744	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7546	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7543	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2311	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   × cxp 4717  1_oc1o 6561  [cec 6686   / cqs 6687  Ncnpi 7467   ~_Q ceq 7474  Qcnq 7475  1_Qc1q 7476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-1o 6568  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-1nqqs 7546

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7586  rec1nq  7590  ltaddnq  7602  halfnqq  7605  addnqprllem  7722  addnqprulem  7723  1pr  7749  addnqpr1  7757  appdivnq  7758  1idprl  7785  1idpru  7786  recexprlemm  7819  recexprlem1ssl  7828  recexprlem1ssu  7829  cauappcvgprlemm  7840  caucvgprlemm  7863  caucvgprprlemmu  7890  suplocexprlemmu  7913