Theorem 1nq 7686

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7635	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4783	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7680	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6825	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7671	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7668	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2316	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3694   × cxp 4749  1_oc1o 6642  [cec 6767   / cqs 6768  Ncnpi 7592   ~_Q ceq 7599  Qcnq 7600  1_Qc1q 7601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-1o 6649  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7624  df-enq 7667  df-nqqs 7668  df-1nqqs 7671

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7711  rec1nq  7715  ltaddnq  7727  halfnqq  7730  addnqprllem  7847  addnqprulem  7848  1pr  7874  addnqpr1  7882  appdivnq  7883  1idprl  7910  1idpru  7911  recexprlemm  7944  recexprlem1ssl  7953  recexprlem1ssu  7954  cauappcvgprlemm  7965  caucvgprlemm  7988  caucvgprprlemmu  8015  suplocexprlemmu  8038