Theorem 1nq 7486

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7435	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4711	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7480	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6683	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7471	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7468	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2288	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3637   × cxp 4677  1_oc1o 6502  [cec 6625   / cqs 6626  Ncnpi 7392   ~_Q ceq 7399  Qcnq 7400  1_Qc1q 7401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-cnv 4687  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-1o 6509  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-1nqqs 7471

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7511  rec1nq  7515  ltaddnq  7527  halfnqq  7530  addnqprllem  7647  addnqprulem  7648  1pr  7674  addnqpr1  7682  appdivnq  7683  1idprl  7710  1idpru  7711  recexprlemm  7744  recexprlem1ssl  7753  recexprlem1ssu  7754  cauappcvgprlemm  7765  caucvgprlemm  7788  caucvgprprlemmu  7815  suplocexprlemmu  7838