Theorem 1nq 7569

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7518	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4752	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7563	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6749	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7554	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7551	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2311	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   × cxp 4718  1_oc1o 6566  [cec 6691   / cqs 6692  Ncnpi 7475   ~_Q ceq 7482  Qcnq 7483  1_Qc1q 7484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-cnv 4728  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-1o 6573  df-ec 6695  df-qs 6699  df-ni 7507  df-enq 7550  df-nqqs 7551  df-1nqqs 7554

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7594  rec1nq  7598  ltaddnq  7610  halfnqq  7613  addnqprllem  7730  addnqprulem  7731  1pr  7757  addnqpr1  7765  appdivnq  7766  1idprl  7793  1idpru  7794  recexprlemm  7827  recexprlem1ssl  7836  recexprlem1ssu  7837  cauappcvgprlemm  7848  caucvgprlemm  7871  caucvgprprlemmu  7898  suplocexprlemmu  7921