Theorem 1nq 7740

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7689	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4808	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 430	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7734	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6867	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7725	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7722	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2320	1 ⊢ 1Q ∈ Q

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   × cxp 4774  1_oc1o 6684  [cec 6809   / cqs 6810  Ncnpi 7646   ~_Q ceq 7653  Qcnq 7654  1_Qc1q 7655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-1o 6691  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7678  df-enq 7721  df-nqqs 7722  df-1nqqs 7725

This theorem is used by:  recmulnqg  7765  rec1nq  7769  ltaddnq  7781  halfnqq  7784  addnqprllem  7901  addnqprulem  7902  1pr  7928  addnqpr1  7936  appdivnq  7937  1idprl  7964  1idpru  7965  recexprlemm  7998  recexprlem1ssl  8007  recexprlem1ssu  8008  cauappcvgprlemm  8019  caucvgprlemm  8042  caucvgprprlemmu  8069  suplocexprlemmu  8092