Theorem 1nq 7579

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7528	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4755	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7573	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6753	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7564	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7561	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2311	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   × cxp 4721  1_oc1o 6570  [cec 6695   / cqs 6696  Ncnpi 7485   ~_Q ceq 7492  Qcnq 7493  1_Qc1q 7494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-1o 6577  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7517  df-enq 7560  df-nqqs 7561  df-1nqqs 7564

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7604  rec1nq  7608  ltaddnq  7620  halfnqq  7623  addnqprllem  7740  addnqprulem  7741  1pr  7767  addnqpr1  7775  appdivnq  7776  1idprl  7803  1idpru  7804  recexprlemm  7837  recexprlem1ssl  7846  recexprlem1ssu  7847  cauappcvgprlemm  7858  caucvgprlemm  7881  caucvgprprlemmu  7908  suplocexprlemmu  7931