Theorem 1nq 7591

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7540	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4759	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7585	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6763	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7576	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7573	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2312	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  ⟨cop 3673   × cxp 4725  1_oc1o 6580  [cec 6705   / cqs 6706  Ncnpi 7497   ~_Q ceq 7504  Qcnq 7505  1_Qc1q 7506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-cnv 4735  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-1o 6587  df-ec 6709  df-qs 6713  df-ni 7529  df-enq 7572  df-nqqs 7573  df-1nqqs 7576

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7616  rec1nq  7620  ltaddnq  7632  halfnqq  7635  addnqprllem  7752  addnqprulem  7753  1pr  7779  addnqpr1  7787  appdivnq  7788  1idprl  7815  1idpru  7816  recexprlemm  7849  recexprlem1ssl  7858  recexprlem1ssu  7859  cauappcvgprlemm  7870  caucvgprlemm  7893  caucvgprprlemmu  7920  suplocexprlemmu  7943