Theorem 1nq 7426

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7375	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4691	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7420	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6643	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7411	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7408	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2275	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621   × cxp 4657  1_oc1o 6462  [cec 6585   / cqs 6586  Ncnpi 7332   ~_Q ceq 7339  Qcnq 7340  1_Qc1q 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-1o 6469  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-1nqqs 7411

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7451  rec1nq  7455  ltaddnq  7467  halfnqq  7470  addnqprllem  7587  addnqprulem  7588  1pr  7614  addnqpr1  7622  appdivnq  7623  1idprl  7650  1idpru  7651  recexprlemm  7684  recexprlem1ssl  7693  recexprlem1ssu  7694  cauappcvgprlemm  7705  caucvgprlemm  7728  caucvgprprlemmu  7755  suplocexprlemmu  7778