ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1nq GIF version

Theorem 1nq 7138
Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
1nq 1QQ

Proof of Theorem 1nq
StepHypRef Expression
1 1pi 7087 . . . 4 1oN
2 opelxpi 4539 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
31, 1, 2mp2an 420 . . 3 ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4 enqex 7132 . . . 4 ~Q ∈ V
54ecelqsi 6449 . . 3 (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
63, 5ax-mp 5 . 2 [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7 df-1nqqs 7123 . 2 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8 df-nqqs 7120 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
96, 7, 83eltr4i 2197 1 1QQ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1463  cop 3498   × cxp 4505  1oc1o 6272  [cec 6393   / cqs 6394  Ncnpi 7044   ~Q ceq 7051  Qcnq 7052  1Qc1q 7053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-1o 6279  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-1nqqs 7123
This theorem is referenced by:  recmulnqg  7163  rec1nq  7167  ltaddnq  7179  halfnqq  7182  addnqprllem  7299  addnqprulem  7300  1pr  7326  addnqpr1  7334  appdivnq  7335  1idprl  7362  1idpru  7363  recexprlemm  7396  recexprlem1ssl  7405  recexprlem1ssu  7406  cauappcvgprlemm  7417  caucvgprlemm  7440  caucvgprprlemmu  7467  suplocexprlemmu  7490
  Copyright terms: Public domain W3C validator