Theorem 1nq 7405

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7354	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4683	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7399	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6623	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7390	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7387	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2271	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  ⟨cop 3617   × cxp 4649  1_oc1o 6442  [cec 6565   / cqs 6566  Ncnpi 7311   ~_Q ceq 7318  Qcnq 7319  1_Qc1q 7320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-iinf 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2758  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-nul 3442  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-cnv 4659  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-1o 6449  df-ec 6569  df-qs 6573  df-ni 7343  df-enq 7386  df-nqqs 7387  df-1nqqs 7390

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7430  rec1nq  7434  ltaddnq  7446  halfnqq  7449  addnqprllem  7566  addnqprulem  7567  1pr  7593  addnqpr1  7601  appdivnq  7602  1idprl  7629  1idpru  7630  recexprlemm  7663  recexprlem1ssl  7672  recexprlem1ssu  7673  cauappcvgprlemm  7684  caucvgprlemm  7707  caucvgprprlemmu  7734  suplocexprlemmu  7757