Theorem 1nq 7586

Description: The positive fraction 'one'. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1nq	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7535	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4757	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 7580	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6758	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1nqqs 7571	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nqqs 7568	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2313	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672   × cxp 4723  1_oc1o 6575  [cec 6700   / cqs 6701  Ncnpi 7492   ~_Q ceq 7499  Qcnq 7500  1_Qc1q 7501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-1o 6582  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-1nqqs 7571

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7611  rec1nq  7615  ltaddnq  7627  halfnqq  7630  addnqprllem  7747  addnqprulem  7748  1pr  7774  addnqpr1  7782  appdivnq  7783  1idprl  7810  1idpru  7811  recexprlemm  7844  recexprlem1ssl  7853  recexprlem1ssu  7854  cauappcvgprlemm  7865  caucvgprlemm  7888  caucvgprprlemmu  7915  suplocexprlemmu  7938