Theorem addcj 11073

Description: A number plus its conjugate is twice its real part. Compare Proposition 10-3.4(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
addcj	|- ( A e. CC -> ( A + ( * ` A ) ) = ( 2 x. ( Re ` A ) ) )

Proof of Theorem addcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 11031	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )
2	1	oveq2d 5941	. 2 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( Re ` A ) ) = ( 2 x. ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) ) )
3		cjcl 11030	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
4		addcl 8021	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( A + ( * ` A ) ) e. CC )
5	3, 4	mpdan 421	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( * ` A ) ) e. CC )
6		2cn 9078	. . . 4 |- 2 e. CC
7		2ap0 9100	. . . 4 |- 2 # 0
8		divcanap2 8724	. . . 4 |- ( ( ( A + ( * ` A ) ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( 2 x. ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) ) = ( A + ( * ` A ) ) )
9	6, 7, 8	mp3an23 1340	. . 3 |- ( ( A + ( * ` A ) ) e. CC -> ( 2 x. ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) ) = ( A + ( * ` A ) ) )
10	5, 9	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) ) = ( A + ( * ` A ) ) )
11	2, 10	eqtr2d 2230	1 |- ( A e. CC -> ( A + ( * ` A ) ) = ( 2 x. ( Re ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   0cc0 7896   + caddc 7899   x. cmul 7901   # cap 8625   / cdiv 8716   2c2 9058   *ccj 11021   Recre 11022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-2 9066  df-cj 11024  df-re 11025

This theorem is referenced by:  addcji  11109  addcjd  11139