Theorem 2ap0 9295

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9272	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9293	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8867	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4093   0cc0 8092   # cap 8820   2c2 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-2 9261

This theorem is referenced by:  2div2e1  9335  4d2e2  9363  halfre  9416  1mhlfehlf  9421  halfpm6th  9423  2muliap0  9427  halfcl  9429  rehalfcl  9430  half0  9431  2halves  9432  halfaddsub  9437  subhalfhalf  9438  xp1d2m1eqxm1d2  9456  div4p1lem1div2  9457  zneo  9642  nneoor  9643  nneo  9644  zeo  9646  zeo2  9647  halfthird  9814  qbtwnrelemcalc  10578  2tnp1ge0ge0  10624  fldiv4lem1div2  10630  zesq  10983  sqoddm1div8  11018  faclbnd2  11067  crre  11497  addcj  11531  resqrexlemover  11650  resqrexlemcalc1  11654  resqrexlemcvg  11659  maxabslemab  11846  max0addsup  11859  minabs  11876  bdtri  11880  arisum  12139  arisum2  12140  geo2sum  12155  geo2lim  12157  geoihalfsum  12163  ege2le3  12312  efgt0  12325  tanval2ap  12354  tanval3ap  12355  efi4p  12358  efival  12373  cosadd  12378  sinmul  12385  cosmul  12386  sin01bnd  12398  cos01bnd  12399  sin02gt0  12405  odd2np1  12514  mulsucdiv2z  12526  ltoddhalfle  12534  halfleoddlt  12535  nn0enne  12543  nn0o  12548  flodddiv4  12577  flodddiv4t2lthalf  12580  bitsp1e  12593  bitsp1o  12594  bitsinv1lem  12602  6lcm4e12  12739  sqrt2irrlem  12813  sqrt2irr  12814  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem14  12930  pythagtriplem15  12931  pythagtriplem16  12932  pythagtriplem17  12933  4sqlem7  13037  4sqlem10  13040  4sqlem19  13062  oddennn  13093  evenennn  13094  maxcncf  15426  mincncf  15427  coscn  15581  sinhalfpilem  15602  cospi  15611  ptolemy  15635  sincosq3sgn  15639  sincosq4sgn  15640  sinq12gt0  15641  cosq23lt0  15644  coseq00topi  15646  tangtx  15649  sincos4thpi  15651  sincos6thpi  15653  sincos3rdpi  15654  pigt3  15655  abssinper  15657  coskpi  15659  logsqrt  15734  mersenne  15811  lgslem1  15819  gausslemma2dlem1a  15877  gausslemma2dlem1f1o  15879  gausslemma2dlem3  15882  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem3  15891  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  lgsquad2lem1  15900  lgsquad2lem2  15901  2lgslem1a1  15905  2lgslem1a2  15906  2lgslem1b  15908  2lgslem1c  15909  2lgslem3a  15912  2lgslem3b  15913  2lgslem3d  15915  apdifflemr  16779  apdiff  16780  qdiff  16781