Theorem 2ap0 9131

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9108	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9129	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8703	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4045   0cc0 7927   # cap 8656   2c2 9089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-2 9097

This theorem is referenced by:  2div2e1  9171  4d2e2  9199  halfre  9252  1mhlfehlf  9257  halfpm6th  9259  2muliap0  9263  halfcl  9265  rehalfcl  9266  half0  9267  2halves  9268  halfaddsub  9273  subhalfhalf  9274  xp1d2m1eqxm1d2  9292  div4p1lem1div2  9293  zneo  9476  nneoor  9477  nneo  9478  zeo  9480  zeo2  9481  halfthird  9648  qbtwnrelemcalc  10400  2tnp1ge0ge0  10446  fldiv4lem1div2  10452  zesq  10805  sqoddm1div8  10840  faclbnd2  10889  crre  11201  addcj  11235  resqrexlemover  11354  resqrexlemcalc1  11358  resqrexlemcvg  11363  maxabslemab  11550  max0addsup  11563  minabs  11580  bdtri  11584  arisum  11842  arisum2  11843  geo2sum  11858  geo2lim  11860  geoihalfsum  11866  ege2le3  12015  efgt0  12028  tanval2ap  12057  tanval3ap  12058  efi4p  12061  efival  12076  cosadd  12081  sinmul  12088  cosmul  12089  sin01bnd  12101  cos01bnd  12102  sin02gt0  12108  odd2np1  12217  mulsucdiv2z  12229  ltoddhalfle  12237  halfleoddlt  12238  nn0enne  12246  nn0o  12251  flodddiv4  12280  flodddiv4t2lthalf  12283  bitsp1e  12296  bitsp1o  12297  bitsinv1lem  12305  6lcm4e12  12442  sqrt2irrlem  12516  sqrt2irr  12517  pythagtriplem12  12631  pythagtriplem14  12633  pythagtriplem15  12634  pythagtriplem16  12635  pythagtriplem17  12636  4sqlem7  12740  4sqlem10  12743  4sqlem19  12765  oddennn  12796  evenennn  12797  maxcncf  15120  mincncf  15121  coscn  15275  sinhalfpilem  15296  cospi  15305  ptolemy  15329  sincosq3sgn  15333  sincosq4sgn  15334  sinq12gt0  15335  cosq23lt0  15338  coseq00topi  15340  tangtx  15343  sincos4thpi  15345  sincos6thpi  15347  sincos3rdpi  15348  pigt3  15349  abssinper  15351  coskpi  15353  logsqrt  15428  mersenne  15502  lgslem1  15510  gausslemma2dlem1a  15568  gausslemma2dlem1f1o  15570  gausslemma2dlem3  15573  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem3  15582  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  lgsquad2lem1  15591  lgsquad2lem2  15592  2lgslem1a1  15596  2lgslem1a2  15597  2lgslem1b  15599  2lgslem1c  15600  2lgslem3a  15603  2lgslem3b  15604  2lgslem3d  15606  apdifflemr  16023  apdiff  16024