Theorem 2ap0 9214

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9191	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9212	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8786	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4083   0cc0 8010   # cap 8739   2c2 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-2 9180

This theorem is referenced by:  2div2e1  9254  4d2e2  9282  halfre  9335  1mhlfehlf  9340  halfpm6th  9342  2muliap0  9346  halfcl  9348  rehalfcl  9349  half0  9350  2halves  9351  halfaddsub  9356  subhalfhalf  9357  xp1d2m1eqxm1d2  9375  div4p1lem1div2  9376  zneo  9559  nneoor  9560  nneo  9561  zeo  9563  zeo2  9564  halfthird  9731  qbtwnrelemcalc  10487  2tnp1ge0ge0  10533  fldiv4lem1div2  10539  zesq  10892  sqoddm1div8  10927  faclbnd2  10976  crre  11384  addcj  11418  resqrexlemover  11537  resqrexlemcalc1  11541  resqrexlemcvg  11546  maxabslemab  11733  max0addsup  11746  minabs  11763  bdtri  11767  arisum  12025  arisum2  12026  geo2sum  12041  geo2lim  12043  geoihalfsum  12049  ege2le3  12198  efgt0  12211  tanval2ap  12240  tanval3ap  12241  efi4p  12244  efival  12259  cosadd  12264  sinmul  12271  cosmul  12272  sin01bnd  12284  cos01bnd  12285  sin02gt0  12291  odd2np1  12400  mulsucdiv2z  12412  ltoddhalfle  12420  halfleoddlt  12421  nn0enne  12429  nn0o  12434  flodddiv4  12463  flodddiv4t2lthalf  12466  bitsp1e  12479  bitsp1o  12480  bitsinv1lem  12488  6lcm4e12  12625  sqrt2irrlem  12699  sqrt2irr  12700  pythagtriplem12  12814  pythagtriplem14  12816  pythagtriplem15  12817  pythagtriplem16  12818  pythagtriplem17  12819  4sqlem7  12923  4sqlem10  12926  4sqlem19  12948  oddennn  12979  evenennn  12980  maxcncf  15305  mincncf  15306  coscn  15460  sinhalfpilem  15481  cospi  15490  ptolemy  15514  sincosq3sgn  15518  sincosq4sgn  15519  sinq12gt0  15520  cosq23lt0  15523  coseq00topi  15525  tangtx  15528  sincos4thpi  15530  sincos6thpi  15532  sincos3rdpi  15533  pigt3  15534  abssinper  15536  coskpi  15538  logsqrt  15613  mersenne  15687  lgslem1  15695  gausslemma2dlem1a  15753  gausslemma2dlem1f1o  15755  gausslemma2dlem3  15758  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem3  15767  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  lgsquad2lem1  15776  lgsquad2lem2  15777  2lgslem1a1  15781  2lgslem1a2  15782  2lgslem1b  15784  2lgslem1c  15785  2lgslem3a  15788  2lgslem3b  15789  2lgslem3d  15791  apdifflemr  16503  apdiff  16504