Theorem 2ap0 9075

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9052	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9073	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8647	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4029   0cc0 7872   # cap 8600   2c2 9033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-2 9041

This theorem is referenced by:  2div2e1  9114  4d2e2  9142  halfre  9195  1mhlfehlf  9200  halfpm6th  9202  2muliap0  9206  halfcl  9208  rehalfcl  9209  half0  9210  2halves  9211  halfaddsub  9216  subhalfhalf  9217  xp1d2m1eqxm1d2  9235  div4p1lem1div2  9236  zneo  9418  nneoor  9419  nneo  9420  zeo  9422  zeo2  9423  halfthird  9590  qbtwnrelemcalc  10324  2tnp1ge0ge0  10370  fldiv4lem1div2  10376  zesq  10729  sqoddm1div8  10764  faclbnd2  10813  crre  11001  addcj  11035  resqrexlemover  11154  resqrexlemcalc1  11158  resqrexlemcvg  11163  maxabslemab  11350  max0addsup  11363  minabs  11379  bdtri  11383  arisum  11641  arisum2  11642  geo2sum  11657  geo2lim  11659  geoihalfsum  11665  ege2le3  11814  efgt0  11827  tanval2ap  11856  tanval3ap  11857  efi4p  11860  efival  11875  cosadd  11880  sinmul  11887  cosmul  11888  sin01bnd  11900  cos01bnd  11901  sin02gt0  11907  odd2np1  12014  mulsucdiv2z  12026  ltoddhalfle  12034  halfleoddlt  12035  nn0enne  12043  nn0o  12048  flodddiv4  12075  flodddiv4t2lthalf  12078  6lcm4e12  12225  sqrt2irrlem  12299  sqrt2irr  12300  pythagtriplem12  12413  pythagtriplem14  12415  pythagtriplem15  12416  pythagtriplem16  12417  pythagtriplem17  12418  4sqlem7  12522  4sqlem10  12525  4sqlem19  12547  oddennn  12549  evenennn  12550  maxcncf  14769  mincncf  14770  coscn  14905  sinhalfpilem  14926  cospi  14935  ptolemy  14959  sincosq3sgn  14963  sincosq4sgn  14964  sinq12gt0  14965  cosq23lt0  14968  coseq00topi  14970  tangtx  14973  sincos4thpi  14975  sincos6thpi  14977  sincos3rdpi  14978  pigt3  14979  abssinper  14981  coskpi  14983  logsqrt  15057  lgslem1  15116  gausslemma2dlem1a  15174  gausslemma2dlem1f1o  15176  gausslemma2dlem3  15179  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem3  15188  lgsquadlem1  15191  apdifflemr  15537  apdiff  15538