Theorem 2ap0 9129

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9106	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9127	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8701	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4044   0cc0 7925   # cap 8654   2c2 9087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-2 9095

This theorem is referenced by:  2div2e1  9169  4d2e2  9197  halfre  9250  1mhlfehlf  9255  halfpm6th  9257  2muliap0  9261  halfcl  9263  rehalfcl  9264  half0  9265  2halves  9266  halfaddsub  9271  subhalfhalf  9272  xp1d2m1eqxm1d2  9290  div4p1lem1div2  9291  zneo  9474  nneoor  9475  nneo  9476  zeo  9478  zeo2  9479  halfthird  9646  qbtwnrelemcalc  10398  2tnp1ge0ge0  10444  fldiv4lem1div2  10450  zesq  10803  sqoddm1div8  10838  faclbnd2  10887  crre  11168  addcj  11202  resqrexlemover  11321  resqrexlemcalc1  11325  resqrexlemcvg  11330  maxabslemab  11517  max0addsup  11530  minabs  11547  bdtri  11551  arisum  11809  arisum2  11810  geo2sum  11825  geo2lim  11827  geoihalfsum  11833  ege2le3  11982  efgt0  11995  tanval2ap  12024  tanval3ap  12025  efi4p  12028  efival  12043  cosadd  12048  sinmul  12055  cosmul  12056  sin01bnd  12068  cos01bnd  12069  sin02gt0  12075  odd2np1  12184  mulsucdiv2z  12196  ltoddhalfle  12204  halfleoddlt  12205  nn0enne  12213  nn0o  12218  flodddiv4  12247  flodddiv4t2lthalf  12250  bitsp1e  12263  bitsp1o  12264  bitsinv1lem  12272  6lcm4e12  12409  sqrt2irrlem  12483  sqrt2irr  12484  pythagtriplem12  12598  pythagtriplem14  12600  pythagtriplem15  12601  pythagtriplem16  12602  pythagtriplem17  12603  4sqlem7  12707  4sqlem10  12710  4sqlem19  12732  oddennn  12763  evenennn  12764  maxcncf  15087  mincncf  15088  coscn  15242  sinhalfpilem  15263  cospi  15272  ptolemy  15296  sincosq3sgn  15300  sincosq4sgn  15301  sinq12gt0  15302  cosq23lt0  15305  coseq00topi  15307  tangtx  15310  sincos4thpi  15312  sincos6thpi  15314  sincos3rdpi  15315  pigt3  15316  abssinper  15318  coskpi  15320  logsqrt  15395  mersenne  15469  lgslem1  15477  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem1f1o  15537  gausslemma2dlem3  15540  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem3  15549  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  lgsquad2lem1  15558  lgsquad2lem2  15559  2lgslem1a1  15563  2lgslem1a2  15564  2lgslem1b  15566  2lgslem1c  15567  2lgslem3a  15570  2lgslem3b  15571  2lgslem3d  15573  apdifflemr  15986  apdiff  15987