Theorem 2ap0 8837

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8814	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 8835	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8414	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 3937   0cc0 7644   # cap 8367   2c2 8795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-2 8803

This theorem is referenced by:  2div2e1  8876  4d2e2  8904  halfre  8957  1mhlfehlf  8962  halfpm6th  8964  2muliap0  8968  halfcl  8970  rehalfcl  8971  half0  8972  2halves  8973  halfaddsub  8978  xp1d2m1eqxm1d2  8996  div4p1lem1div2  8997  zneo  9176  nneoor  9177  nneo  9178  zeo  9180  zeo2  9181  halfthird  9348  qbtwnrelemcalc  10064  2tnp1ge0ge0  10105  zesq  10441  sqoddm1div8  10475  faclbnd2  10520  crre  10661  addcj  10695  resqrexlemover  10814  resqrexlemcalc1  10818  resqrexlemcvg  10823  maxabslemab  11010  max0addsup  11023  minabs  11039  bdtri  11043  arisum  11299  arisum2  11300  geo2sum  11315  geo2lim  11317  geoihalfsum  11323  ege2le3  11414  efgt0  11427  tanval2ap  11456  tanval3ap  11457  efi4p  11460  efival  11475  cosadd  11480  sinmul  11487  cosmul  11488  sin01bnd  11500  cos01bnd  11501  sin02gt0  11506  odd2np1  11606  mulsucdiv2z  11618  ltoddhalfle  11626  halfleoddlt  11627  nn0enne  11635  nn0o  11640  flodddiv4  11667  flodddiv4t2lthalf  11670  6lcm4e12  11804  sqrt2irrlem  11875  sqrt2irr  11876  oddennn  11941  evenennn  11942  coscn  12899  sinhalfpilem  12920  cospi  12929  ptolemy  12953  sincosq3sgn  12957  sincosq4sgn  12958  sinq12gt0  12959  cosq23lt0  12962  coseq00topi  12964  tangtx  12967  sincos4thpi  12969  sincos6thpi  12971  sincos3rdpi  12972  pigt3  12973  abssinper  12975  coskpi  12977  logsqrt  13051  apdifflemr  13415  apdiff  13416