Theorem 2ap0 9235

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9212	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9233	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8807	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4088   0cc0 8031   # cap 8760   2c2 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-2 9201

This theorem is referenced by:  2div2e1  9275  4d2e2  9303  halfre  9356  1mhlfehlf  9361  halfpm6th  9363  2muliap0  9367  halfcl  9369  rehalfcl  9370  half0  9371  2halves  9372  halfaddsub  9377  subhalfhalf  9378  xp1d2m1eqxm1d2  9396  div4p1lem1div2  9397  zneo  9580  nneoor  9581  nneo  9582  zeo  9584  zeo2  9585  halfthird  9752  qbtwnrelemcalc  10514  2tnp1ge0ge0  10560  fldiv4lem1div2  10566  zesq  10919  sqoddm1div8  10954  faclbnd2  11003  crre  11417  addcj  11451  resqrexlemover  11570  resqrexlemcalc1  11574  resqrexlemcvg  11579  maxabslemab  11766  max0addsup  11779  minabs  11796  bdtri  11800  arisum  12058  arisum2  12059  geo2sum  12074  geo2lim  12076  geoihalfsum  12082  ege2le3  12231  efgt0  12244  tanval2ap  12273  tanval3ap  12274  efi4p  12277  efival  12292  cosadd  12297  sinmul  12304  cosmul  12305  sin01bnd  12317  cos01bnd  12318  sin02gt0  12324  odd2np1  12433  mulsucdiv2z  12445  ltoddhalfle  12453  halfleoddlt  12454  nn0enne  12462  nn0o  12467  flodddiv4  12496  flodddiv4t2lthalf  12499  bitsp1e  12512  bitsp1o  12513  bitsinv1lem  12521  6lcm4e12  12658  sqrt2irrlem  12732  sqrt2irr  12733  pythagtriplem12  12847  pythagtriplem14  12849  pythagtriplem15  12850  pythagtriplem16  12851  pythagtriplem17  12852  4sqlem7  12956  4sqlem10  12959  4sqlem19  12981  oddennn  13012  evenennn  13013  maxcncf  15338  mincncf  15339  coscn  15493  sinhalfpilem  15514  cospi  15523  ptolemy  15547  sincosq3sgn  15551  sincosq4sgn  15552  sinq12gt0  15553  cosq23lt0  15556  coseq00topi  15558  tangtx  15561  sincos4thpi  15563  sincos6thpi  15565  sincos3rdpi  15566  pigt3  15567  abssinper  15569  coskpi  15571  logsqrt  15646  mersenne  15720  lgslem1  15728  gausslemma2dlem1a  15786  gausslemma2dlem1f1o  15788  gausslemma2dlem3  15791  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem3  15800  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  lgsquad2lem1  15809  lgsquad2lem2  15810  2lgslem1a1  15814  2lgslem1a2  15815  2lgslem1b  15817  2lgslem1c  15818  2lgslem3a  15821  2lgslem3b  15822  2lgslem3d  15824  apdifflemr  16651  apdiff  16652