Theorem 2ap0 9397

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9374	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9395	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8956	1 |- 2 # 0

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4130   0cc0 8179   # cap 8909   2c2 9355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-2 9363

This theorem is used by:  2div2e1  9437  4d2e2  9465  halfre  9518  1mhlfehlf  9523  halfpm6th  9525  2muliap0  9529  halfcl  9531  rehalfcl  9532  half0  9533  2halves  9534  halfaddsub  9539  subhalfhalf  9540  xp1d2m1eqxm1d2  9558  div4p1lem1div2  9559  zneo  9747  nneoor  9748  nneo  9749  zeo  9751  zeo2  9752  halfthird  9919  qbtwnrelemcalc  10690  2tnp1ge0ge0  10736  fldiv4lem1div2  10742  zesq  11096  sqoddm1div8  11131  faclbnd2  11180  crre  11622  addcj  11656  sq01  11660  resqrexlemover  11776  resqrexlemcalc1  11780  resqrexlemcvg  11785  maxabslemab  11972  max0addsup  11985  minabs  12002  bdtri  12006  arisum  12265  arisum2  12266  geo2sum  12281  geo2lim  12283  geoihalfsum  12289  ege2le3  12438  efgt0  12451  tanval2ap  12480  tanval3ap  12481  efi4p  12484  efival  12499  cosadd  12504  sinmul  12511  cosmul  12512  sin01bnd  12524  cos01bnd  12525  sin02gt0  12531  odd2np1  12640  mulsucdiv2z  12652  ltoddhalfle  12660  halfleoddlt  12661  nn0enne  12669  nn0o  12674  flodddiv4  12703  flodddiv4t2lthalf  12706  bitsp1e  12719  bitsp1o  12720  bitsinv1lem  12728  6lcm4e12  12865  sqrt2irrlem  12939  sqrt2irr  12940  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem14  13056  pythagtriplem15  13057  pythagtriplem16  13058  pythagtriplem17  13059  4sqlem7  13163  4sqlem10  13166  4sqlem19  13188  oddennn  13283  evenennn  13284  maxcncf  15716  mincncf  15717  coscn  15871  sinhalfpilem  15892  cospi  15901  ptolemy  15925  sincosq3sgn  15929  sincosq4sgn  15930  sinq12gt0  15931  cosq23lt0  15934  coseq00topi  15936  tangtx  15939  sincos4thpi  15941  sincos6thpi  15943  sincos3rdpi  15944  pigt3  15945  abssinper  15947  coskpi  15949  logsqrt  16025  log2tlbndlog2  16082  birthdaylog2  16090  mersenne  16111  lgslem1  16119  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem1f1o  16179  gausslemma2dlem3  16182  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem3  16191  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquad2lem1  16200  lgsquad2lem2  16201  2lgslem1a1  16205  2lgslem1a2  16206  2lgslem1b  16208  2lgslem1c  16209  2lgslem3a  16212  2lgslem3b  16213  2lgslem3d  16215  apdifflemr  17096  apdiff  17097  qdiff  17098