Theorem 2ap0 9400

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9377	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9398	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8959	1 |- 2 # 0

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4130   0cc0 8180   # cap 8912   2c2 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-2 9366

This theorem is used by:  2div2e1  9440  4d2e2  9470  halfre  9523  1mhlfehlf  9528  halfpm6th  9530  2muliap0  9534  halfcl  9536  rehalfcl  9537  half0  9538  2halves  9539  halfaddsub  9544  subhalfhalf  9545  xp1d2m1eqxm1d2  9563  div4p1lem1div2  9564  zneo  9752  nneoor  9753  nneo  9754  zeo  9756  zeo2  9757  halfthird  9929  qbtwnrelemcalc  10701  2tnp1ge0ge0  10751  fldiv4lem1div2  10757  zesq  11111  sqoddm1div8  11146  faclbnd2  11196  crre  11638  addcj  11672  sq01  11676  resqrexlemover  11792  resqrexlemcalc1  11796  resqrexlemcvg  11801  maxabslemab  11989  max0addsup  12002  minabs  12020  bdtri  12025  arisum  12284  arisum2  12285  geo2sum  12300  geo2lim  12302  geoihalfsum  12308  ege2le3  12457  efgt0  12470  tanval2ap  12499  tanval3ap  12500  efi4p  12503  efival  12518  cosadd  12523  sinmul  12530  cosmul  12531  sin01bnd  12543  cos01bnd  12544  sin02gt0  12550  odd2np1  12659  mulsucdiv2z  12671  ltoddhalfle  12679  halfleoddlt  12680  nn0enne  12688  nn0o  12693  flodddiv4  12722  flodddiv4t2lthalf  12725  bitsp1e  12738  bitsp1o  12739  bitsinv1lem  12747  6lcm4e12  12884  sqrt2irrlem  12959  sqrt2irr  12960  pythagtriplem12  13077  pythagtriplem14  13079  pythagtriplem15  13080  pythagtriplem16  13081  pythagtriplem17  13082  4sqlem7  13186  4sqlem10  13189  4sqlem19  13211  oddennn  13335  evenennn  13336  maxcncf  15807  mincncf  15808  coscn  15962  sinhalfpilem  15984  cospi  15993  ptolemy  16017  sincosq3sgn  16021  sincosq4sgn  16022  sinq12gt0  16023  cosq23lt0  16026  coseq00topi  16028  tangtx  16031  sincos4thpi  16033  sincos6thpi  16035  sincos3rdpi  16036  pigt3  16037  abssinper  16039  coskpi  16041  logsqrt  16120  log2tlbndlog2  16181  birthdaylog2  16189  ppiqub  16254  chtqub  16257  mersenne  16258  bcmax  16266  bclbnd  16268  bposlem9  16280  lgslem1  16285  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1f1o  16345  gausslemma2dlem3  16348  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem3  16357  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquad2lem1  16366  lgsquad2lem2  16367  2lgslem1a1  16371  2lgslem1a2  16372  2lgslem1b  16374  2lgslem1c  16375  2lgslem3a  16378  2lgslem3b  16379  2lgslem3d  16381  apdifflemr  17263  apdiff  17264  qdiff  17265