Theorem 2ap0 9164

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9141	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9162	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8736	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4059   0cc0 7960   # cap 8689   2c2 9122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-2 9130

This theorem is referenced by:  2div2e1  9204  4d2e2  9232  halfre  9285  1mhlfehlf  9290  halfpm6th  9292  2muliap0  9296  halfcl  9298  rehalfcl  9299  half0  9300  2halves  9301  halfaddsub  9306  subhalfhalf  9307  xp1d2m1eqxm1d2  9325  div4p1lem1div2  9326  zneo  9509  nneoor  9510  nneo  9511  zeo  9513  zeo2  9514  halfthird  9681  qbtwnrelemcalc  10435  2tnp1ge0ge0  10481  fldiv4lem1div2  10487  zesq  10840  sqoddm1div8  10875  faclbnd2  10924  crre  11283  addcj  11317  resqrexlemover  11436  resqrexlemcalc1  11440  resqrexlemcvg  11445  maxabslemab  11632  max0addsup  11645  minabs  11662  bdtri  11666  arisum  11924  arisum2  11925  geo2sum  11940  geo2lim  11942  geoihalfsum  11948  ege2le3  12097  efgt0  12110  tanval2ap  12139  tanval3ap  12140  efi4p  12143  efival  12158  cosadd  12163  sinmul  12170  cosmul  12171  sin01bnd  12183  cos01bnd  12184  sin02gt0  12190  odd2np1  12299  mulsucdiv2z  12311  ltoddhalfle  12319  halfleoddlt  12320  nn0enne  12328  nn0o  12333  flodddiv4  12362  flodddiv4t2lthalf  12365  bitsp1e  12378  bitsp1o  12379  bitsinv1lem  12387  6lcm4e12  12524  sqrt2irrlem  12598  sqrt2irr  12599  pythagtriplem12  12713  pythagtriplem14  12715  pythagtriplem15  12716  pythagtriplem16  12717  pythagtriplem17  12718  4sqlem7  12822  4sqlem10  12825  4sqlem19  12847  oddennn  12878  evenennn  12879  maxcncf  15202  mincncf  15203  coscn  15357  sinhalfpilem  15378  cospi  15387  ptolemy  15411  sincosq3sgn  15415  sincosq4sgn  15416  sinq12gt0  15417  cosq23lt0  15420  coseq00topi  15422  tangtx  15425  sincos4thpi  15427  sincos6thpi  15429  sincos3rdpi  15430  pigt3  15431  abssinper  15433  coskpi  15435  logsqrt  15510  mersenne  15584  lgslem1  15592  gausslemma2dlem1a  15650  gausslemma2dlem1f1o  15652  gausslemma2dlem3  15655  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem3  15664  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquad2lem1  15673  lgsquad2lem2  15674  2lgslem1a1  15678  2lgslem1a2  15679  2lgslem1b  15681  2lgslem1c  15682  2lgslem3a  15685  2lgslem3b  15686  2lgslem3d  15688  apdifflemr  16188  apdiff  16189