Theorem 2ap0 9406

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9383	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9404	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8964	1 |- 2 # 0

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4131   0cc0 8185   # cap 8917   2c2 9364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-2 9372

This theorem is used by:  2div2e1  9446  4d2e2  9476  halfre  9529  1mhlfehlf  9534  halfpm6th  9536  2muliap0  9540  halfcl  9542  rehalfcl  9543  half0  9544  2halves  9545  halfaddsub  9550  subhalfhalf  9551  xp1d2m1eqxm1d2  9569  div4p1lem1div2  9570  zneo  9758  nneoor  9759  nneo  9760  zeo  9762  zeo2  9763  halfthird  9935  qbtwnrelemcalc  10707  2tnp1ge0ge0  10757  fldiv4lem1div2  10763  zesq  11117  sqoddm1div8  11152  faclbnd2  11202  crre  11644  addcj  11678  sq01  11682  resqrexlemover  11798  resqrexlemcalc1  11802  resqrexlemcvg  11807  maxabslemab  11995  max0addsup  12008  minabs  12026  bdtri  12031  arisum  12290  arisum2  12291  geo2sum  12306  geo2lim  12308  geoihalfsum  12314  ege2le3  12463  efgt0  12476  tanval2ap  12505  tanval3ap  12506  efi4p  12509  efival  12524  cosadd  12529  sinmul  12536  cosmul  12537  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  sin02gt0  12556  odd2np1  12665  mulsucdiv2z  12677  ltoddhalfle  12685  halfleoddlt  12686  nn0enne  12694  nn0o  12699  flodddiv4  12728  flodddiv4t2lthalf  12731  bitsp1e  12744  bitsp1o  12745  bitsinv1lem  12753  6lcm4e12  12890  sqrt2irrlem  12965  sqrt2irr  12966  pythagtriplem12  13083  pythagtriplem14  13085  pythagtriplem15  13086  pythagtriplem16  13087  pythagtriplem17  13088  4sqlem7  13192  4sqlem10  13195  4sqlem19  13217  oddennn  13341  evenennn  13342  maxcncf  15841  mincncf  15842  coscn  15996  sinhalfpilem  16018  cospi  16027  ptolemy  16051  sincosq3sgn  16055  sincosq4sgn  16056  sinq12gt0  16057  cosq23lt0  16060  coseq00topi  16062  tangtx  16065  sincos4thpi  16067  sincos6thpi  16069  sincos3rdpi  16070  pigt3  16071  abssinper  16073  coskpi  16075  sineq0re  16076  logsqrt  16158  log2tlbndlog2  16220  birthdaylog2  16228  ppiqub  16293  chtqub  16296  mersenne  16297  bcmax  16305  bclbnd  16307  bposlem9  16319  lgslem1  16324  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1f1o  16384  gausslemma2dlem3  16387  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem3  16396  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquad2lem1  16405  lgsquad2lem2  16406  2lgslem1a1  16410  2lgslem1a2  16411  2lgslem1b  16413  2lgslem1c  16414  2lgslem3a  16417  2lgslem3b  16418  2lgslem3d  16420  apdifflemr  17303  apdiff  17304  qdiff  17305