Theorem 2ap0 9011

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8988	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9009	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8584	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4003   0cc0 7810   # cap 8537   2c2 8969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-2 8977

This theorem is referenced by:  2div2e1  9050  4d2e2  9078  halfre  9131  1mhlfehlf  9136  halfpm6th  9138  2muliap0  9142  halfcl  9144  rehalfcl  9145  half0  9146  2halves  9147  halfaddsub  9152  xp1d2m1eqxm1d2  9170  div4p1lem1div2  9171  zneo  9353  nneoor  9354  nneo  9355  zeo  9357  zeo2  9358  halfthird  9525  qbtwnrelemcalc  10255  2tnp1ge0ge0  10300  zesq  10638  sqoddm1div8  10673  faclbnd2  10721  crre  10865  addcj  10899  resqrexlemover  11018  resqrexlemcalc1  11022  resqrexlemcvg  11027  maxabslemab  11214  max0addsup  11227  minabs  11243  bdtri  11247  arisum  11505  arisum2  11506  geo2sum  11521  geo2lim  11523  geoihalfsum  11529  ege2le3  11678  efgt0  11691  tanval2ap  11720  tanval3ap  11721  efi4p  11724  efival  11739  cosadd  11744  sinmul  11751  cosmul  11752  sin01bnd  11764  cos01bnd  11765  sin02gt0  11770  odd2np1  11877  mulsucdiv2z  11889  ltoddhalfle  11897  halfleoddlt  11898  nn0enne  11906  nn0o  11911  flodddiv4  11938  flodddiv4t2lthalf  11941  6lcm4e12  12086  sqrt2irrlem  12160  sqrt2irr  12161  pythagtriplem12  12274  pythagtriplem14  12276  pythagtriplem15  12277  pythagtriplem16  12278  pythagtriplem17  12279  4sqlem7  12381  4sqlem10  12384  oddennn  12392  evenennn  12393  coscn  14161  sinhalfpilem  14182  cospi  14191  ptolemy  14215  sincosq3sgn  14219  sincosq4sgn  14220  sinq12gt0  14221  cosq23lt0  14224  coseq00topi  14226  tangtx  14229  sincos4thpi  14231  sincos6thpi  14233  sincos3rdpi  14234  pigt3  14235  abssinper  14237  coskpi  14239  logsqrt  14313  lgslem1  14371  lgseisenlem1  14420  apdifflemr  14765  apdiff  14766