Theorem 2ap0 9406

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9383	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9404	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8964	1 |- 2 # 0

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4131   0cc0 8185   # cap 8917   2c2 9364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-2 9372

This theorem is used by:  2div2e1  9446  4d2e2  9476  halfre  9529  1mhlfehlf  9534  halfpm6th  9536  2muliap0  9540  halfcl  9542  rehalfcl  9543  half0  9544  2halves  9545  halfaddsub  9550  subhalfhalf  9551  xp1d2m1eqxm1d2  9569  div4p1lem1div2  9570  zneo  9757  nneoor  9758  nneo  9759  zeo  9761  zeo2  9762  halfthird  9934  qbtwnrelemcalc  10706  2tnp1ge0ge0  10756  fldiv4lem1div2  10762  zesq  11116  sqoddm1div8  11151  faclbnd2  11201  crre  11643  addcj  11677  sq01  11681  resqrexlemover  11797  resqrexlemcalc1  11801  resqrexlemcvg  11806  maxabslemab  11994  max0addsup  12007  minabs  12025  bdtri  12030  arisum  12289  arisum2  12290  geo2sum  12305  geo2lim  12307  geoihalfsum  12313  ege2le3  12462  efgt0  12475  tanval2ap  12504  tanval3ap  12505  efi4p  12508  efival  12523  cosadd  12528  sinmul  12535  cosmul  12536  sin01bnd  12548  cos01bnd  12549  sin02gt0  12555  odd2np1  12664  mulsucdiv2z  12676  ltoddhalfle  12684  halfleoddlt  12685  nn0enne  12693  nn0o  12698  flodddiv4  12727  flodddiv4t2lthalf  12730  bitsp1e  12743  bitsp1o  12744  bitsinv1lem  12752  6lcm4e12  12889  sqrt2irrlem  12964  sqrt2irr  12965  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem14  13084  pythagtriplem15  13085  pythagtriplem16  13086  pythagtriplem17  13087  4sqlem7  13191  4sqlem10  13194  4sqlem19  13216  oddennn  13340  evenennn  13341  maxcncf  15858  mincncf  15859  coscn  16013  sinhalfpilem  16035  cospi  16044  ptolemy  16068  sincosq3sgn  16072  sincosq4sgn  16073  sinq12gt0  16074  cosq23lt0  16077  coseq00topi  16079  tangtx  16082  sincos4thpi  16084  sincos6thpi  16086  sincos3rdpi  16087  pigt3  16088  abssinper  16090  coskpi  16092  sineq0re  16093  logsqrt  16175  log2tlbndlog2  16237  birthdaylog2  16245  ppiqub  16310  chtqub  16313  mersenne  16314  bcmax  16322  bclbnd  16324  bposlem9  16336  lgslem1  16341  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1f1o  16401  gausslemma2dlem3  16404  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem3  16413  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquad2lem1  16422  lgsquad2lem2  16423  2lgslem1a1  16427  2lgslem1a2  16428  2lgslem1b  16430  2lgslem1c  16431  2lgslem3a  16434  2lgslem3b  16435  2lgslem3d  16437  apdifflemr  17320  apdiff  17321  qdiff  17322