Theorem 2ap0 8946

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8923	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 8944	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8522	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 3981   0cc0 7749   # cap 8475   2c2 8904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-ltxr 7934  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-2 8912

This theorem is referenced by:  2div2e1  8985  4d2e2  9013  halfre  9066  1mhlfehlf  9071  halfpm6th  9073  2muliap0  9077  halfcl  9079  rehalfcl  9080  half0  9081  2halves  9082  halfaddsub  9087  xp1d2m1eqxm1d2  9105  div4p1lem1div2  9106  zneo  9288  nneoor  9289  nneo  9290  zeo  9292  zeo2  9293  halfthird  9460  qbtwnrelemcalc  10187  2tnp1ge0ge0  10232  zesq  10569  sqoddm1div8  10604  faclbnd2  10651  crre  10795  addcj  10829  resqrexlemover  10948  resqrexlemcalc1  10952  resqrexlemcvg  10957  maxabslemab  11144  max0addsup  11157  minabs  11173  bdtri  11177  arisum  11435  arisum2  11436  geo2sum  11451  geo2lim  11453  geoihalfsum  11459  ege2le3  11608  efgt0  11621  tanval2ap  11650  tanval3ap  11651  efi4p  11654  efival  11669  cosadd  11674  sinmul  11681  cosmul  11682  sin01bnd  11694  cos01bnd  11695  sin02gt0  11700  odd2np1  11806  mulsucdiv2z  11818  ltoddhalfle  11826  halfleoddlt  11827  nn0enne  11835  nn0o  11840  flodddiv4  11867  flodddiv4t2lthalf  11870  6lcm4e12  12015  sqrt2irrlem  12089  sqrt2irr  12090  pythagtriplem12  12203  pythagtriplem14  12205  pythagtriplem15  12206  pythagtriplem16  12207  pythagtriplem17  12208  4sqlem7  12310  4sqlem10  12313  oddennn  12321  evenennn  12322  coscn  13291  sinhalfpilem  13312  cospi  13321  ptolemy  13345  sincosq3sgn  13349  sincosq4sgn  13350  sinq12gt0  13351  cosq23lt0  13354  coseq00topi  13356  tangtx  13359  sincos4thpi  13361  sincos6thpi  13363  sincos3rdpi  13364  pigt3  13365  abssinper  13367  coskpi  13369  logsqrt  13443  lgslem1  13501  apdifflemr  13886  apdiff  13887