Theorem 2ap0 9042

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9019	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9040	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8615	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4018   0cc0 7841   # cap 8568   2c2 9000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-2 9008

This theorem is referenced by:  2div2e1  9081  4d2e2  9109  halfre  9162  1mhlfehlf  9167  halfpm6th  9169  2muliap0  9173  halfcl  9175  rehalfcl  9176  half0  9177  2halves  9178  halfaddsub  9183  xp1d2m1eqxm1d2  9201  div4p1lem1div2  9202  zneo  9384  nneoor  9385  nneo  9386  zeo  9388  zeo2  9389  halfthird  9556  qbtwnrelemcalc  10286  2tnp1ge0ge0  10332  zesq  10670  sqoddm1div8  10705  faclbnd2  10754  crre  10898  addcj  10932  resqrexlemover  11051  resqrexlemcalc1  11055  resqrexlemcvg  11060  maxabslemab  11247  max0addsup  11260  minabs  11276  bdtri  11280  arisum  11538  arisum2  11539  geo2sum  11554  geo2lim  11556  geoihalfsum  11562  ege2le3  11711  efgt0  11724  tanval2ap  11753  tanval3ap  11754  efi4p  11757  efival  11772  cosadd  11777  sinmul  11784  cosmul  11785  sin01bnd  11797  cos01bnd  11798  sin02gt0  11803  odd2np1  11910  mulsucdiv2z  11922  ltoddhalfle  11930  halfleoddlt  11931  nn0enne  11939  nn0o  11944  flodddiv4  11971  flodddiv4t2lthalf  11974  6lcm4e12  12119  sqrt2irrlem  12193  sqrt2irr  12194  pythagtriplem12  12307  pythagtriplem14  12309  pythagtriplem15  12310  pythagtriplem16  12311  pythagtriplem17  12312  4sqlem7  12416  4sqlem10  12419  4sqlem19  12441  oddennn  12443  evenennn  12444  coscn  14651  sinhalfpilem  14672  cospi  14681  ptolemy  14705  sincosq3sgn  14709  sincosq4sgn  14710  sinq12gt0  14711  cosq23lt0  14714  coseq00topi  14716  tangtx  14719  sincos4thpi  14721  sincos6thpi  14723  sincos3rdpi  14724  pigt3  14725  abssinper  14727  coskpi  14729  logsqrt  14803  lgslem1  14862  lgseisenlem1  14911  apdifflemr  15257  apdiff  15258