Theorem 2ap0 9012

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8989	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9010	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8585	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4004   0cc0 7811   # cap 8538   2c2 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-2 8978

This theorem is referenced by:  2div2e1  9051  4d2e2  9079  halfre  9132  1mhlfehlf  9137  halfpm6th  9139  2muliap0  9143  halfcl  9145  rehalfcl  9146  half0  9147  2halves  9148  halfaddsub  9153  xp1d2m1eqxm1d2  9171  div4p1lem1div2  9172  zneo  9354  nneoor  9355  nneo  9356  zeo  9358  zeo2  9359  halfthird  9526  qbtwnrelemcalc  10256  2tnp1ge0ge0  10301  zesq  10639  sqoddm1div8  10674  faclbnd2  10722  crre  10866  addcj  10900  resqrexlemover  11019  resqrexlemcalc1  11023  resqrexlemcvg  11028  maxabslemab  11215  max0addsup  11228  minabs  11244  bdtri  11248  arisum  11506  arisum2  11507  geo2sum  11522  geo2lim  11524  geoihalfsum  11530  ege2le3  11679  efgt0  11692  tanval2ap  11721  tanval3ap  11722  efi4p  11725  efival  11740  cosadd  11745  sinmul  11752  cosmul  11753  sin01bnd  11765  cos01bnd  11766  sin02gt0  11771  odd2np1  11878  mulsucdiv2z  11890  ltoddhalfle  11898  halfleoddlt  11899  nn0enne  11907  nn0o  11912  flodddiv4  11939  flodddiv4t2lthalf  11942  6lcm4e12  12087  sqrt2irrlem  12161  sqrt2irr  12162  pythagtriplem12  12275  pythagtriplem14  12277  pythagtriplem15  12278  pythagtriplem16  12279  pythagtriplem17  12280  4sqlem7  12382  4sqlem10  12385  oddennn  12393  evenennn  12394  coscn  14194  sinhalfpilem  14215  cospi  14224  ptolemy  14248  sincosq3sgn  14252  sincosq4sgn  14253  sinq12gt0  14254  cosq23lt0  14257  coseq00topi  14259  tangtx  14262  sincos4thpi  14264  sincos6thpi  14266  sincos3rdpi  14267  pigt3  14268  abssinper  14270  coskpi  14272  logsqrt  14346  lgslem1  14404  lgseisenlem1  14453  apdifflemr  14798  apdiff  14799