Theorem 2ap0 9330

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9307	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9328	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8902	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4109   0cc0 8127   # cap 8855   2c2 9288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-2 9296

This theorem is referenced by:  2div2e1  9370  4d2e2  9398  halfre  9451  1mhlfehlf  9456  halfpm6th  9458  2muliap0  9462  halfcl  9464  rehalfcl  9465  half0  9466  2halves  9467  halfaddsub  9472  subhalfhalf  9473  xp1d2m1eqxm1d2  9491  div4p1lem1div2  9492  zneo  9679  nneoor  9680  nneo  9681  zeo  9683  zeo2  9684  halfthird  9851  qbtwnrelemcalc  10615  2tnp1ge0ge0  10661  fldiv4lem1div2  10667  zesq  11020  sqoddm1div8  11055  faclbnd2  11104  crre  11542  addcj  11576  resqrexlemover  11695  resqrexlemcalc1  11699  resqrexlemcvg  11704  maxabslemab  11891  max0addsup  11904  minabs  11921  bdtri  11925  arisum  12184  arisum2  12185  geo2sum  12200  geo2lim  12202  geoihalfsum  12208  ege2le3  12357  efgt0  12370  tanval2ap  12399  tanval3ap  12400  efi4p  12403  efival  12418  cosadd  12423  sinmul  12430  cosmul  12431  sin01bnd  12443  cos01bnd  12444  sin02gt0  12450  odd2np1  12559  mulsucdiv2z  12571  ltoddhalfle  12579  halfleoddlt  12580  nn0enne  12588  nn0o  12593  flodddiv4  12622  flodddiv4t2lthalf  12625  bitsp1e  12638  bitsp1o  12639  bitsinv1lem  12647  6lcm4e12  12784  sqrt2irrlem  12858  sqrt2irr  12859  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem14  12975  pythagtriplem15  12976  pythagtriplem16  12977  pythagtriplem17  12978  4sqlem7  13082  4sqlem10  13085  4sqlem19  13107  oddennn  13143  evenennn  13144  maxcncf  15480  mincncf  15481  coscn  15635  sinhalfpilem  15656  cospi  15665  ptolemy  15689  sincosq3sgn  15693  sincosq4sgn  15694  sinq12gt0  15695  cosq23lt0  15698  coseq00topi  15700  tangtx  15703  sincos4thpi  15705  sincos6thpi  15707  sincos3rdpi  15708  pigt3  15709  abssinper  15711  coskpi  15713  logsqrt  15788  mersenne  15865  lgslem1  15873  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem1f1o  15933  gausslemma2dlem3  15936  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem3  15945  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  lgsquad2lem1  15954  lgsquad2lem2  15955  2lgslem1a1  15959  2lgslem1a2  15960  2lgslem1b  15962  2lgslem1c  15963  2lgslem3a  15966  2lgslem3b  15967  2lgslem3d  15969  apdifflemr  16831  apdiff  16832  qdiff  16833