Theorem 2ap0 9203

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9180	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9201	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8775	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4083   0cc0 7999   # cap 8728   2c2 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-2 9169

This theorem is referenced by:  2div2e1  9243  4d2e2  9271  halfre  9324  1mhlfehlf  9329  halfpm6th  9331  2muliap0  9335  halfcl  9337  rehalfcl  9338  half0  9339  2halves  9340  halfaddsub  9345  subhalfhalf  9346  xp1d2m1eqxm1d2  9364  div4p1lem1div2  9365  zneo  9548  nneoor  9549  nneo  9550  zeo  9552  zeo2  9553  halfthird  9720  qbtwnrelemcalc  10475  2tnp1ge0ge0  10521  fldiv4lem1div2  10527  zesq  10880  sqoddm1div8  10915  faclbnd2  10964  crre  11368  addcj  11402  resqrexlemover  11521  resqrexlemcalc1  11525  resqrexlemcvg  11530  maxabslemab  11717  max0addsup  11730  minabs  11747  bdtri  11751  arisum  12009  arisum2  12010  geo2sum  12025  geo2lim  12027  geoihalfsum  12033  ege2le3  12182  efgt0  12195  tanval2ap  12224  tanval3ap  12225  efi4p  12228  efival  12243  cosadd  12248  sinmul  12255  cosmul  12256  sin01bnd  12268  cos01bnd  12269  sin02gt0  12275  odd2np1  12384  mulsucdiv2z  12396  ltoddhalfle  12404  halfleoddlt  12405  nn0enne  12413  nn0o  12418  flodddiv4  12447  flodddiv4t2lthalf  12450  bitsp1e  12463  bitsp1o  12464  bitsinv1lem  12472  6lcm4e12  12609  sqrt2irrlem  12683  sqrt2irr  12684  pythagtriplem12  12798  pythagtriplem14  12800  pythagtriplem15  12801  pythagtriplem16  12802  pythagtriplem17  12803  4sqlem7  12907  4sqlem10  12910  4sqlem19  12932  oddennn  12963  evenennn  12964  maxcncf  15289  mincncf  15290  coscn  15444  sinhalfpilem  15465  cospi  15474  ptolemy  15498  sincosq3sgn  15502  sincosq4sgn  15503  sinq12gt0  15504  cosq23lt0  15507  coseq00topi  15509  tangtx  15512  sincos4thpi  15514  sincos6thpi  15516  sincos3rdpi  15517  pigt3  15518  abssinper  15520  coskpi  15522  logsqrt  15597  mersenne  15671  lgslem1  15679  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem1f1o  15739  gausslemma2dlem3  15742  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem3  15751  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  lgsquad2lem1  15760  lgsquad2lem2  15761  2lgslem1a1  15765  2lgslem1a2  15766  2lgslem1b  15768  2lgslem1c  15769  2lgslem3a  15772  2lgslem3b  15773  2lgslem3d  15775  apdifflemr  16415  apdiff  16416