Theorem 2ap0 9102

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9079	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9100	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8674	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4034   0cc0 7898   # cap 8627   2c2 9060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-2 9068

This theorem is referenced by:  2div2e1  9142  4d2e2  9170  halfre  9223  1mhlfehlf  9228  halfpm6th  9230  2muliap0  9234  halfcl  9236  rehalfcl  9237  half0  9238  2halves  9239  halfaddsub  9244  subhalfhalf  9245  xp1d2m1eqxm1d2  9263  div4p1lem1div2  9264  zneo  9446  nneoor  9447  nneo  9448  zeo  9450  zeo2  9451  halfthird  9618  qbtwnrelemcalc  10364  2tnp1ge0ge0  10410  fldiv4lem1div2  10416  zesq  10769  sqoddm1div8  10804  faclbnd2  10853  crre  11041  addcj  11075  resqrexlemover  11194  resqrexlemcalc1  11198  resqrexlemcvg  11203  maxabslemab  11390  max0addsup  11403  minabs  11420  bdtri  11424  arisum  11682  arisum2  11683  geo2sum  11698  geo2lim  11700  geoihalfsum  11706  ege2le3  11855  efgt0  11868  tanval2ap  11897  tanval3ap  11898  efi4p  11901  efival  11916  cosadd  11921  sinmul  11928  cosmul  11929  sin01bnd  11941  cos01bnd  11942  sin02gt0  11948  odd2np1  12057  mulsucdiv2z  12069  ltoddhalfle  12077  halfleoddlt  12078  nn0enne  12086  nn0o  12091  flodddiv4  12120  flodddiv4t2lthalf  12123  bitsp1e  12136  bitsp1o  12137  bitsinv1lem  12145  6lcm4e12  12282  sqrt2irrlem  12356  sqrt2irr  12357  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem15  12474  pythagtriplem16  12475  pythagtriplem17  12476  4sqlem7  12580  4sqlem10  12583  4sqlem19  12605  oddennn  12636  evenennn  12637  maxcncf  14959  mincncf  14960  coscn  15114  sinhalfpilem  15135  cospi  15144  ptolemy  15168  sincosq3sgn  15172  sincosq4sgn  15173  sinq12gt0  15174  cosq23lt0  15177  coseq00topi  15179  tangtx  15182  sincos4thpi  15184  sincos6thpi  15186  sincos3rdpi  15187  pigt3  15188  abssinper  15190  coskpi  15192  logsqrt  15267  mersenne  15341  lgslem1  15349  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1f1o  15409  gausslemma2dlem3  15412  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem3  15421  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquad2lem1  15430  lgsquad2lem2  15431  2lgslem1a1  15435  2lgslem1a2  15436  2lgslem1b  15438  2lgslem1c  15439  2lgslem3a  15442  2lgslem3b  15443  2lgslem3d  15445  apdifflemr  15804  apdiff  15805