Theorem 2ap0 9399

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9376	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9397	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8958	1 |- 2 # 0

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4130   0cc0 8179   # cap 8911   2c2 9357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-2 9365

This theorem is used by:  2div2e1  9439  4d2e2  9469  halfre  9522  1mhlfehlf  9527  halfpm6th  9529  2muliap0  9533  halfcl  9535  rehalfcl  9536  half0  9537  2halves  9538  halfaddsub  9543  subhalfhalf  9544  xp1d2m1eqxm1d2  9562  div4p1lem1div2  9563  zneo  9751  nneoor  9752  nneo  9753  zeo  9755  zeo2  9756  halfthird  9928  qbtwnrelemcalc  10700  2tnp1ge0ge0  10749  fldiv4lem1div2  10755  zesq  11109  sqoddm1div8  11144  faclbnd2  11194  crre  11636  addcj  11670  sq01  11674  resqrexlemover  11790  resqrexlemcalc1  11794  resqrexlemcvg  11799  maxabslemab  11987  max0addsup  12000  minabs  12017  bdtri  12022  arisum  12281  arisum2  12282  geo2sum  12297  geo2lim  12299  geoihalfsum  12305  ege2le3  12454  efgt0  12467  tanval2ap  12496  tanval3ap  12497  efi4p  12500  efival  12515  cosadd  12520  sinmul  12527  cosmul  12528  sin01bnd  12540  cos01bnd  12541  sin02gt0  12547  odd2np1  12656  mulsucdiv2z  12668  ltoddhalfle  12676  halfleoddlt  12677  nn0enne  12685  nn0o  12690  flodddiv4  12719  flodddiv4t2lthalf  12722  bitsp1e  12735  bitsp1o  12736  bitsinv1lem  12744  6lcm4e12  12881  sqrt2irrlem  12956  sqrt2irr  12957  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem15  13077  pythagtriplem16  13078  pythagtriplem17  13079  4sqlem7  13183  4sqlem10  13186  4sqlem19  13208  oddennn  13332  evenennn  13333  maxcncf  15765  mincncf  15766  coscn  15920  sinhalfpilem  15942  cospi  15951  ptolemy  15975  sincosq3sgn  15979  sincosq4sgn  15980  sinq12gt0  15981  cosq23lt0  15984  coseq00topi  15986  tangtx  15989  sincos4thpi  15991  sincos6thpi  15993  sincos3rdpi  15994  pigt3  15995  abssinper  15997  coskpi  15999  logsqrt  16078  log2tlbndlog2  16139  birthdaylog2  16147  ppiqub  16194  mersenne  16195  bcmax  16203  bclbnd  16205  lgslem1  16217  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem1f1o  16277  gausslemma2dlem3  16280  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem3  16289  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquad2lem1  16298  lgsquad2lem2  16299  2lgslem1a1  16303  2lgslem1a2  16304  2lgslem1b  16306  2lgslem1c  16307  2lgslem3a  16310  2lgslem3b  16311  2lgslem3d  16313  apdifflemr  17194  apdiff  17195  qdiff  17196