Theorem 2ap0 9376

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9353	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9374	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8946	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4125   0cc0 8169   # cap 8899   2c2 9334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-2 9342

This theorem is referenced by:  2div2e1  9416  4d2e2  9444  halfre  9497  1mhlfehlf  9502  halfpm6th  9504  2muliap0  9508  halfcl  9510  rehalfcl  9511  half0  9512  2halves  9513  halfaddsub  9518  subhalfhalf  9519  xp1d2m1eqxm1d2  9537  div4p1lem1div2  9538  zneo  9726  nneoor  9727  nneo  9728  zeo  9730  zeo2  9731  halfthird  9898  qbtwnrelemcalc  10668  2tnp1ge0ge0  10714  fldiv4lem1div2  10720  zesq  11074  sqoddm1div8  11109  faclbnd2  11158  crre  11600  addcj  11634  sq01  11638  resqrexlemover  11754  resqrexlemcalc1  11758  resqrexlemcvg  11763  maxabslemab  11950  max0addsup  11963  minabs  11980  bdtri  11984  arisum  12243  arisum2  12244  geo2sum  12259  geo2lim  12261  geoihalfsum  12267  ege2le3  12416  efgt0  12429  tanval2ap  12458  tanval3ap  12459  efi4p  12462  efival  12477  cosadd  12482  sinmul  12489  cosmul  12490  sin01bnd  12502  cos01bnd  12503  sin02gt0  12509  odd2np1  12618  mulsucdiv2z  12630  ltoddhalfle  12638  halfleoddlt  12639  nn0enne  12647  nn0o  12652  flodddiv4  12681  flodddiv4t2lthalf  12684  bitsp1e  12697  bitsp1o  12698  bitsinv1lem  12706  6lcm4e12  12843  sqrt2irrlem  12917  sqrt2irr  12918  pythagtriplem12  13032  pythagtriplem14  13034  pythagtriplem15  13035  pythagtriplem16  13036  pythagtriplem17  13037  4sqlem7  13141  4sqlem10  13144  4sqlem19  13166  oddennn  13261  evenennn  13262  maxcncf  15639  mincncf  15640  coscn  15794  sinhalfpilem  15815  cospi  15824  ptolemy  15848  sincosq3sgn  15852  sincosq4sgn  15853  sinq12gt0  15854  cosq23lt0  15857  coseq00topi  15859  tangtx  15862  sincos4thpi  15864  sincos6thpi  15866  sincos3rdpi  15867  pigt3  15868  abssinper  15870  coskpi  15872  logsqrt  15948  mersenne  16025  lgslem1  16033  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem1f1o  16093  gausslemma2dlem3  16096  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem3  16105  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquad2lem1  16114  lgsquad2lem2  16115  2lgslem1a1  16119  2lgslem1a2  16120  2lgslem1b  16122  2lgslem1c  16123  2lgslem3a  16126  2lgslem3b  16127  2lgslem3d  16129  apdifflemr  17001  apdiff  17002  qdiff  17003