Theorem 2ap0 8971

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8948	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 8969	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8547	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 3989   0cc0 7774   # cap 8500   2c2 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-2 8937

This theorem is referenced by:  2div2e1  9010  4d2e2  9038  halfre  9091  1mhlfehlf  9096  halfpm6th  9098  2muliap0  9102  halfcl  9104  rehalfcl  9105  half0  9106  2halves  9107  halfaddsub  9112  xp1d2m1eqxm1d2  9130  div4p1lem1div2  9131  zneo  9313  nneoor  9314  nneo  9315  zeo  9317  zeo2  9318  halfthird  9485  qbtwnrelemcalc  10212  2tnp1ge0ge0  10257  zesq  10594  sqoddm1div8  10629  faclbnd2  10676  crre  10821  addcj  10855  resqrexlemover  10974  resqrexlemcalc1  10978  resqrexlemcvg  10983  maxabslemab  11170  max0addsup  11183  minabs  11199  bdtri  11203  arisum  11461  arisum2  11462  geo2sum  11477  geo2lim  11479  geoihalfsum  11485  ege2le3  11634  efgt0  11647  tanval2ap  11676  tanval3ap  11677  efi4p  11680  efival  11695  cosadd  11700  sinmul  11707  cosmul  11708  sin01bnd  11720  cos01bnd  11721  sin02gt0  11726  odd2np1  11832  mulsucdiv2z  11844  ltoddhalfle  11852  halfleoddlt  11853  nn0enne  11861  nn0o  11866  flodddiv4  11893  flodddiv4t2lthalf  11896  6lcm4e12  12041  sqrt2irrlem  12115  sqrt2irr  12116  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem14  12231  pythagtriplem15  12232  pythagtriplem16  12233  pythagtriplem17  12234  4sqlem7  12336  4sqlem10  12339  oddennn  12347  evenennn  12348  coscn  13485  sinhalfpilem  13506  cospi  13515  ptolemy  13539  sincosq3sgn  13543  sincosq4sgn  13544  sinq12gt0  13545  cosq23lt0  13548  coseq00topi  13550  tangtx  13553  sincos4thpi  13555  sincos6thpi  13557  sincos3rdpi  13558  pigt3  13559  abssinper  13561  coskpi  13563  logsqrt  13637  lgslem1  13695  apdifflemr  14079  apdiff  14080