Theorem 2ap0 9100

Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2ap0	|- 2 # 0

Proof of Theorem 2ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9077	. 2 |- 2 e. RR
2		2pos 9098	. 2 |- 0 < 2
3	1, 2	gt0ap0ii 8672	1 |- 2 # 0

Syntax hints:   class class class wbr 4034   0cc0 7896   # cap 8625   2c2 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-2 9066

This theorem is referenced by:  2div2e1  9140  4d2e2  9168  halfre  9221  1mhlfehlf  9226  halfpm6th  9228  2muliap0  9232  halfcl  9234  rehalfcl  9235  half0  9236  2halves  9237  halfaddsub  9242  subhalfhalf  9243  xp1d2m1eqxm1d2  9261  div4p1lem1div2  9262  zneo  9444  nneoor  9445  nneo  9446  zeo  9448  zeo2  9449  halfthird  9616  qbtwnrelemcalc  10362  2tnp1ge0ge0  10408  fldiv4lem1div2  10414  zesq  10767  sqoddm1div8  10802  faclbnd2  10851  crre  11039  addcj  11073  resqrexlemover  11192  resqrexlemcalc1  11196  resqrexlemcvg  11201  maxabslemab  11388  max0addsup  11401  minabs  11418  bdtri  11422  arisum  11680  arisum2  11681  geo2sum  11696  geo2lim  11698  geoihalfsum  11704  ege2le3  11853  efgt0  11866  tanval2ap  11895  tanval3ap  11896  efi4p  11899  efival  11914  cosadd  11919  sinmul  11926  cosmul  11927  sin01bnd  11939  cos01bnd  11940  sin02gt0  11946  odd2np1  12055  mulsucdiv2z  12067  ltoddhalfle  12075  halfleoddlt  12076  nn0enne  12084  nn0o  12089  flodddiv4  12118  flodddiv4t2lthalf  12121  bitsp1e  12134  bitsp1o  12135  bitsinv1lem  12143  6lcm4e12  12280  sqrt2irrlem  12354  sqrt2irr  12355  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem15  12472  pythagtriplem16  12473  pythagtriplem17  12474  4sqlem7  12578  4sqlem10  12581  4sqlem19  12603  oddennn  12634  evenennn  12635  maxcncf  14935  mincncf  14936  coscn  15090  sinhalfpilem  15111  cospi  15120  ptolemy  15144  sincosq3sgn  15148  sincosq4sgn  15149  sinq12gt0  15150  cosq23lt0  15153  coseq00topi  15155  tangtx  15158  sincos4thpi  15160  sincos6thpi  15162  sincos3rdpi  15163  pigt3  15164  abssinper  15166  coskpi  15168  logsqrt  15243  mersenne  15317  lgslem1  15325  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem1f1o  15385  gausslemma2dlem3  15388  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem3  15397  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  lgsquad2lem1  15406  lgsquad2lem2  15407  2lgslem1a1  15411  2lgslem1a2  15412  2lgslem1b  15414  2lgslem1c  15415  2lgslem3a  15418  2lgslem3b  15419  2lgslem3d  15421  apdifflemr  15778  apdiff  15779