ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reval Unicode version

Theorem reval 10508
Description: The value of the real part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reval  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )

Proof of Theorem reval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
2 cjcl 10507 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
31, 2addcld 7703 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  CC )
43halfcld 8862 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  e.  CC )
5 fveq2 5373 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
* `  x )  =  ( * `  A ) )
6 oveq12 5735 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  ( * `  x
)  =  ( * `
 A ) )  ->  ( x  +  ( * `  x
) )  =  ( A  +  ( * `
 A ) ) )
75, 6mpdan 415 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +  ( * `
 x ) )  =  ( A  +  ( * `  A
) ) )
87oveq1d 5741 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  +  ( * `  x ) )  /  2 )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
9 df-re 10502 . . 3  |-  Re  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  +  ( * `  x
) )  /  2
) )
108, 9fvmptg 5449 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A  +  ( * `  A
) )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  /  2 ) )
114, 10mpdan 415 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1312    e. wcel 1461   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7539    + caddc 7544    / cdiv 8339   2c2 8675   *ccj 10498   Recre 10499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-2 8683  df-cj 10501  df-re 10502
This theorem is referenced by:  imval  10509  recl  10512  ref  10514  crre  10516  addcj  10550  recosval  11268
  Copyright terms: Public domain W3C validator