Theorem reval 10508

Description: The value of the real part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reval	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )

Proof of Theorem reval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		cjcl 10507	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
3	1, 2	addcld 7703	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A + ( * ` A ) ) e. CC )
4	3	halfcld 8862	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) e. CC )
5		fveq2 5373	. . . . 5 |- ( x = A -> ( * ` x ) = ( * ` A ) )
6		oveq12 5735	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ ( * ` x ) = ( * ` A ) ) -> ( x + ( * ` x ) ) = ( A + ( * ` A ) ) )
7	5, 6	mpdan 415	. . . 4 |- ( x = A -> ( x + ( * ` x ) ) = ( A + ( * ` A ) ) )
8	7	oveq1d 5741	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x + ( * ` x ) ) / 2 ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )
9		df-re 10502	. . 3 |- Re = ( x e. CC |-> ( ( x + ( * ` x ) ) / 2 ) )
10	8, 9	fvmptg 5449	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) e. CC ) -> ( Re ` A ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )
11	4, 10	mpdan 415	1 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = ( ( A + ( * ` A ) ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1312   e. wcel 1461   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7539   + caddc 7544   / cdiv 8339   2c2 8675   *ccj 10498   Recre 10499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-2 8683  df-cj 10501  df-re 10502

This theorem is referenced by:  imval  10509  recl  10512  ref  10514  crre  10516  addcj  10550  recosval  11268