Theorem cjsub 10389

Description: Complex conjugate distributes over subtraction. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A - B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )

Proof of Theorem cjsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7745	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2		cjadd 10381	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( * ` ( A + -u B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) )
3	1, 2	sylan2 281	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + -u B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) )
4		negsub 7793	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5	4	fveq2d 5324	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + -u B ) ) = ( * ` ( A - B ) ) )
6		cjneg 10387	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( * ` -u B ) = -u ( * ` B ) )
7	6	adantl 272	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` -u B ) = -u ( * ` B ) )
8	7	oveq2d 5684	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) = ( ( * ` A ) + -u ( * ` B ) ) )
9		cjcl 10345	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
10		cjcl 10345	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) e. CC )
11		negsub 7793	. . . 4 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( ( * ` A ) + -u ( * ` B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )
12	9, 10, 11	syl2an 284	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + -u ( * ` B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )
13	8, 12	eqtrd 2121	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )
14	3, 5, 13	3eqtr3d 2129	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A - B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   + caddc 7416   - cmin 7716   -ucneg 7717   *ccj 10336

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-2 8544  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341

This theorem is referenced by:  sqabssub  10552  cjcn2  10767