Theorem cjsub 10820

Description: Complex conjugate distributes over subtraction. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A - B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )

Proof of Theorem cjsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8089	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2		cjadd 10812	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( * ` ( A + -u B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) )
3	1, 2	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + -u B ) ) = ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) )
4		negsub 8137	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
5	4	fveq2d 5484	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A + -u B ) ) = ( * ` ( A - B ) ) )
6		cjneg 10818	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( * ` -u B ) = -u ( * ` B ) )
7	6	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` -u B ) = -u ( * ` B ) )
8	7	oveq2d 5852	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) = ( ( * ` A ) + -u ( * ` B ) ) )
9		cjcl 10776	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
10		cjcl 10776	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) e. CC )
11		negsub 8137	. . . 4 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( ( * ` A ) + -u ( * ` B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + -u ( * ` B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )
13	8, 12	eqtrd 2197	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) + ( * ` -u B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )
14	3, 5, 13	3eqtr3d 2205	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A - B ) ) = ( ( * ` A ) - ( * ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   CCcc 7742   + caddc 7747   - cmin 8060   -ucneg 8061   *ccj 10767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-2 8907  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772

This theorem is referenced by:  sqabssub  10984  cjcn2  11243  dvcjbr  13213