ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjneg Unicode version

Theorem cjneg 10926
Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )

Proof of Theorem cjneg
StepHypRef Expression
1 recl 10889 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 8011 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 7931 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
4 imcl 10890 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 8011 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 7963 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 414 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7neg2subd 8310 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  -  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
9 reneg 10904 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  =  -u ( Re `  A ) )
10 imneg 10912 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
1110oveq2d 5908 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  =  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) )
12 mulneg2 8378 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
133, 5, 12sylancr 414 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1411, 13eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  -u A ) )  = 
-u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
159, 14oveq12d 5910 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  -  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
162, 7negsubdi2d 8309 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  -  ( Re `  A ) ) )
178, 15, 163eqtr4d 2232 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
18 negcl 8182 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
19 remim 10896 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( * `  -u A
)  =  ( ( Re `  -u A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  -u A ) ) ) )
2018, 19syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  ( ( Re
`  -u A )  -  ( _i  x.  (
Im `  -u A ) ) ) )
21 remim 10896 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221negeqd 8177 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
* `  A )  =  -u ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2317, 20, 223eqtr4d 2232 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  -u A )  =  -u ( * `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 2160   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   CCcc 7834   _ici 7838    x. cmul 7841    - cmin 8153   -ucneg 8154   *ccj 10875   Recre 10876   Imcim 10877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-2 9003  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880
This theorem is referenced by:  cjsub  10928  cjnegi  10962  cjnegd  10992  absneg  11086
  Copyright terms: Public domain W3C validator