Theorem cjneg 10926

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjneg	|- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Proof of Theorem cjneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10889	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 8011	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7931	. . . . 5 |- _i e. CC
4		imcl 10890	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8011	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7963	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	neg2subd 8310	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
9		reneg 10904	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
10		imneg 10912	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )
11	10	oveq2d 5908	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = ( _i x. -u ( Im ` A ) ) )
12		mulneg2 8378	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13	3, 5, 12	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
14	11, 13	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
15	9, 14	oveq12d 5910	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2, 7	negsubdi2d 8309	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
17	8, 15, 16	3eqtr4d 2232	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18		negcl 8182	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
19		remim 10896	. . 3 |- ( -u A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
21		remim 10896	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
22	21	negeqd 8177	. 2 |- ( A e. CC -> -u ( * ` A ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2232	1 |- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   CCcc 7834   _ici 7838   x. cmul 7841   - cmin 8153   -ucneg 8154   *ccj 10875   Recre 10876   Imcim 10877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-2 9003  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880

This theorem is referenced by:  cjsub  10928  cjnegi  10962  cjnegd  10992  absneg  11086