Theorem cjneg 11401

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjneg	|- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Proof of Theorem cjneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 11364	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 8175	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 8094	. . . . 5 |- _i e. CC
4		imcl 11365	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 8175	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 8126	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	neg2subd 8474	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
9		reneg 11379	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
10		imneg 11387	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )
11	10	oveq2d 6017	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = ( _i x. -u ( Im ` A ) ) )
12		mulneg2 8542	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13	3, 5, 12	sylancr 414	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
14	11, 13	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
15	9, 14	oveq12d 6019	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2, 7	negsubdi2d 8473	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
17	8, 15, 16	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18		negcl 8346	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
19		remim 11371	. . 3 |- ( -u A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
21		remim 11371	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
22	21	negeqd 8341	. 2 |- ( A e. CC -> -u ( * ` A ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2272	1 |- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   _ici 8001   x. cmul 8004   - cmin 8317   -ucneg 8318   *ccj 11350   Recre 11351   Imcim 11352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-2 9169  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355

This theorem is referenced by:  cjsub  11403  cjnegi  11437  cjnegd  11467  absneg  11561