Theorem apbtwnz 10535

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apbtwnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem apbtwnz

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → 𝐴 < 𝑚)
3	2	olcd 741	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zred 9602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
7	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 < 𝐴)
10	6, 8, 9	ltled 8298	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ≤ 𝐴)
11	10	orcd 740	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
12		breq2 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 # 𝑛 ↔ 𝐴 # 𝑚))
13		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛)
14	12, 13, 4	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 # 𝑚)
15		reaplt 8768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
16	7, 5, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
17	14, 16	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴))
18	3, 11, 17	mpjaodan 805	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
19	1, 18	exbtwnzlemex 10510	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
20	19, 1	exbtwnz 10511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃!wreu 2512   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214   ≤ cle 8215   # cap 8761  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  flapcl  10536