Theorem apbtwnz 10381

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apbtwnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem apbtwnz

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → 𝐴 < 𝑚)
3	2	olcd 735	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zred 9465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
7	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 < 𝐴)
10	6, 8, 9	ltled 8162	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ≤ 𝐴)
11	10	orcd 734	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
12		breq2 4038	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 # 𝑛 ↔ 𝐴 # 𝑚))
13		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛)
14	12, 13, 4	rspcdva 2873	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 # 𝑚)
15		reaplt 8632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
16	7, 5, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
17	14, 16	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴))
18	3, 11, 17	mpjaodan 799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
19	1, 18	exbtwnzlemex 10356	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
20	19, 1	exbtwnz 10357	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃!wreu 2477   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079   # cap 8625  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  flapcl  10382