ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apbtwnz GIF version

Theorem apbtwnz 9570
Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
apbtwnz ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem apbtwnz
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpr 108 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → 𝐴 < 𝑚)
32olcd 686 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → (𝑚𝐴𝐴 < 𝑚))
4 simpr 108 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
54zred 8764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
65adantr 270 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
71adantr 270 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 270 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simpr 108 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 < 𝐴)
106, 8, 9ltled 7505 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚𝐴)
1110orcd 685 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → (𝑚𝐴𝐴 < 𝑚))
12 breq2 3815 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 # 𝑛𝐴 # 𝑚))
13 simplr 497 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛)
1412, 13, 4rspcdva 2717 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 # 𝑚)
15 reaplt 7965 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚𝑚 < 𝐴)))
167, 5, 15syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚𝑚 < 𝐴)))
1714, 16mpbid 145 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑚𝑚 < 𝐴))
183, 11, 17mpjaodan 745 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚𝐴𝐴 < 𝑚))
191, 18exbtwnzlemex 9550 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
2019, 1exbtwnz 9551 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  wcel 1434  wral 2353  ∃!wreu 2355   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cr 7252  1c1 7254   + caddc 7256   < clt 7425  cle 7426   # cap 7958  cz 8646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-arch 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647
This theorem is referenced by:  flapcl  9571
  Copyright terms: Public domain W3C validator