Theorem apbtwnz 10692

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apbtwnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem apbtwnz

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → 𝐴 < 𝑚)
3	2	olcd 746	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zred 9751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
7	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 < 𝐴)
10	6, 8, 9	ltled 8439	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ≤ 𝐴)
11	10	orcd 745	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
12		breq2 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 # 𝑛 ↔ 𝐴 # 𝑚))
13		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛)
14	12, 13, 4	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 # 𝑚)
15		reaplt 8910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
16	7, 5, 15	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
17	14, 16	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴))
18	3, 11, 17	mpjaodan 810	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
19	1, 18	exbtwnzlemex 10667	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
20	19, 1	exbtwnz 10668	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃!wreu 2530   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   ≤ cle 8355   # cap 8903  ℤcz 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628

This theorem is referenced by:  flapcl  10693