Theorem apbtwnz 10242

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number which is apart from all integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
apbtwnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥

Proof of Theorem apbtwnz

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → 𝐴 < 𝑚)
3	2	olcd 734	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑚) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	4	zred 9346	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
7	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 < 𝐴)
10	6, 8, 9	ltled 8050	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → 𝑚 ≤ 𝐴)
11	10	orcd 733	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 < 𝐴) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
12		breq2 4002	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 # 𝑛 ↔ 𝐴 # 𝑚))
13		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛)
14	12, 13, 4	rspcdva 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 # 𝑚)
15		reaplt 8519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
16	7, 5, 15	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 # 𝑚 ↔ (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴)))
17	14, 16	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑚 ∨ 𝑚 < 𝐴))
18	3, 11, 17	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑚))
19	1, 18	exbtwnzlemex 10218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
20	19, 1	exbtwnz 10219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐴 # 𝑛) → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  ∃!wreu 2455   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  1c1 7787   + caddc 7789   < clt 7966   ≤ cle 7967   # cap 8512  ℤcz 9224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-arch 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225

This theorem is referenced by:  flapcl  10243