Theorem ballotfilemcinfi 13202

Description: Lemma for ballotfi . The portion of a counting representing votes for A up to a specified integer is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilemc.c	|- ( ph -> C e. O )
ballotfilemc.j	|- ( ph -> J e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemcinfi	|- ( ph -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) e. Fin )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c

Allowed substitution hints:   ph( c)   C( c)   J( c)

Proof of Theorem ballotfilemcinfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9650	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		ballotfilemc.j	. . 3 |- ( ph -> J e. ZZ )
3	1, 2	fzfigd 10846	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... J ) e. Fin )
4		ballotth.m	. . . 4 |- M e. NN
5		ballotth.n	. . . 4 |- N e. NN
6		ballotfilem.o	. . . 4 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
7		ballotfilemc.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. O )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... J ) ) -> C e. O )
9		elfzelz 10407	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... J ) -> x e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... J ) ) -> x e. ZZ )
11	4, 5, 6, 8, 10	ballotfilemcdc 13201	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... J ) ) -> DECID x e. C )
12	11	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... J )DECID x e. C )
13		infidc 7238	. 2 |- ( ( ( 1 ... J ) e. Fin /\ A. x e. ( 1 ... J )DECID x e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) e. Fin )
14	3, 12, 13	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   i^i cin 3219   ~Pcpw 3685   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   1c1 8170   + caddc 8172   NNcn 9283   ZZcz 9623   ...cfz 10390  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  ballotfilemfval  13207  ballotfilemfelz  13208  ballotfilemfp1  13209  ballotfilemfrc  13248