Theorem 1zzd 9680

Description: 1 is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 6-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
1zzd	|- ( ph -> 1 e. ZZ )

Proof of Theorem 1zzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9679	. 2 |- 1 e. ZZ
2	1	a1i 9	1 |- ( ph -> 1 e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   1c1 8186   ZZcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9654

This theorem is used by:  uzm1  9968  fzsplit3  10474  fzspl  10492  elfz1b  10513  fzm1  10523  fzoss2  10597  fzo1fzo0n0  10611  nninfdcex  10688  qnegmod  10826  addmodid  10829  q2submod  10842  ser3mono  10944  seq3f1olemqsumkj  10968  seqf1oglem2  10977  exp3vallem  10997  exp3val  10998  exp1  11002  facnn  11186  fac0  11187  fac1  11188  bcp1nk  11221  hashfiv01gt1  11242  fseq1hash  11262  hashfz  11283  sseqn  11300  zfz1isolemsplit  11311  seq3coll  11315  wrdind  11515  wrd2ind  11516  resqrexlemf  11794  resqrexlemf1  11795  resqrexlemnmsq  11804  resqrexlemcvg  11806  climuni  12083  climrecvg1n  12138  climcvg1nlem  12139  nnf1o  12167  summodclem2a  12172  summodclem2  12173  summodc  12174  zsumdc  12175  fsum3  12178  sum0  12179  fisumss  12183  fsumcl2lem  12189  fsumadd  12197  sumsnf  12200  fsummulc2  12239  telfsumo  12257  fsumparts  12261  binomlem  12274  divcnv  12288  arisum  12289  arisum2  12290  trireciplem  12291  trirecip  12292  expcnvap0  12293  expcnv  12295  geo2sum  12305  geo2lim  12307  geoisum1  12310  geoisum1c  12311  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratnnlemrate  12321  cvgratnn  12322  cvgratz  12323  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  prodmodclem2  12368  zproddc  12370  fprodseq  12374  fprodssdc  12381  prodsnf  12383  fprodzcl  12400  fprodfac  12406  ege2le3  12462  modm1div  12591  nn0o1gt2  12696  bitsfzolem  12745  bitscmp  12749  gcdsupex  12758  gcdsupcl  12759  gcdaddm  12785  nnmindc  12835  nnminle  12836  uzwodc  12838  lcmval  12865  lcmcllem  12869  lcmledvds  12872  isprm3  12920  isprm4  12921  prmind2  12922  dvdsnprmd  12927  rpexp  12956  pwbdvds  12969  phivalfi  13018  phicl2  13020  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  phimullem  13031  eulerthlemfi  13034  eulerthlemh  13037  eulerthlemth  13038  eulerth  13039  prmdiv  13041  dvdsfi  13045  hashgcdeq  13046  odzcllem  13049  odzdvds  13052  odzphi  13053  pcid  13131  pcmptcl  13149  pcmpt  13150  pcfac  13157  pcbc  13158  pockthlem  13163  infpnlem2  13167  1arith  13174  4sqlem11  13208  4sqlem13m  13210  4sqlem14  13211  4sqlem17  13214  4sqlem18  13215  ballotfilemcinfi  13281  ballotfilemdifcfi  13282  ballotfilemfp1  13288  ballotfilemafi  13295  ballotfilembfi  13296  ballotfilemiex  13301  ballotfilemimin  13306  ballotfilemic  13307  ballotfilem1c  13308  ballotfilemsdom  13312  ballotfilemsel1i  13313  ballotfilemsima  13316  ballotfilemfg  13326  ballotfilemfrceq  13329  ballotfilemfrcn0  13330  ballotfilemth  13338  nninfdclemf  13397  mulgval  13983  mulgfng  13985  mulgnngzsum  13988  mulg1  13990  mulgnnsubcl  13995  mulgpropdg  14025  gzsumshift  14238  gsumvalfi  14241  gzsumgsum1  14242  gzsumgsum  14244  gsumsncmn  14245  gsump1  14246  gsumf1ofi  14249  gsummhmfi  14263  gsumressfi  14266  mulgrhm  15052  mulgrhm2  15053  znunit  15102  znrrg  15103  lmtopcnp  15493  dvply1  16008  logfac  16143  relogbval  16204  relogbzcl  16205  nnlogbexp  16212  birthdaylem1g  16242  birthdaylem2  16243  birthdaylem3  16244  wilthlem1  16249  prmdvdsfi  16260  prmorcht  16299  ppiqub  16310  mersenne  16314  perfectlem1  16316  perfectlem2  16317  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem5  16332  lgslem1  16341  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgscllem  16348  lgsval2lem  16351  lgsval4a  16363  lgsneg  16365  lgsdir2  16374  lgsdir  16376  lgsdilem2  16377  lgsdi  16378  lgsne0  16379  gausslemma2dlem1  16402  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem6  16408  gausslemma2dlem7  16409  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlemsfi  16416  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  lgsquad2lem1  16422  lgsquad3  16425  m1lgs  16426  2lgsoddprm  16454  clwwlkccatlem  16863  clwwlknonex2lem2  16901  konigsberglem1  16951  cvgcmp2nlemabs  17304  cvgcmp2n  17305  trilpolemcl  17310  trilpolemisumle  17311  trilpolemeq1  17313  trilpolemlt1  17314  dceqnconst  17334  dcapnconst  17335  nconstwlpolemgt0  17338