Theorem cats1lend 11341

Description: The length of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	|- T = ( S ++ <" X "> )
cats1lend.s	|- ( ph -> S e. Word _V )
cats1lend.x	|- ( ph -> X e. W )
cats1lend.3	|- (♯ ` S ) = M
cats1len.4	|- ( M + 1 ) = N

Assertion

Ref	Expression
cats1lend	|- ( ph -> (♯ ` T ) = N )

Proof of Theorem cats1lend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . 3 |- T = ( S ++ <" X "> )
2	1	fveq2i 5638	. 2 |- (♯ ` T ) = (♯ ` ( S ++ <" X "> ) )
3		cats1lend.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Word _V )
4		cats1lend.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. W )
5	4	s1cld 11192	. . . . 5 |- ( ph -> <" X "> e. Word W )
6		ccatlen 11165	. . . . 5 |- ( ( S e. Word _V /\ <" X "> e. Word W ) -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) )
8		cats1lend.3	. . . . . 6 |- (♯ ` S ) = M
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` S ) = M )
10		s1leng 11194	. . . . . 6 |- ( X e. W -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
11	4, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
12	9, 11	oveq12d 6031	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) = ( M + 1 ) )
13	7, 12	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( M + 1 ) )
14		cats1len.4	. . 3 |- ( M + 1 ) = N
15	13, 14	eqtrdi 2278	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = N )
16	2, 15	eqtrid 2274	1 |- ( ph -> (♯ ` T ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   1c1 8026   + caddc 8028  ♯chash 11030  Word cword 11106   ++ cconcat 11160   <"cs1 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-ihash 11031  df-word 11107  df-concat 11161  df-s1 11186

This theorem is referenced by:  s2leng  11363