Theorem cats1lend 11260

Description: The length of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	|- T = ( S ++ <" X "> )
cats1lend.s	|- ( ph -> S e. Word _V )
cats1lend.x	|- ( ph -> X e. W )
cats1lend.3	|- (♯ ` S ) = M
cats1len.4	|- ( M + 1 ) = N

Assertion

Ref	Expression
cats1lend	|- ( ph -> (♯ ` T ) = N )

Proof of Theorem cats1lend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . 3 |- T = ( S ++ <" X "> )
2	1	fveq2i 5603	. 2 |- (♯ ` T ) = (♯ ` ( S ++ <" X "> ) )
3		cats1lend.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Word _V )
4		cats1lend.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. W )
5	4	s1cld 11116	. . . . 5 |- ( ph -> <" X "> e. Word W )
6		ccatlen 11091	. . . . 5 |- ( ( S e. Word _V /\ <" X "> e. Word W ) -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) )
8		cats1lend.3	. . . . . 6 |- (♯ ` S ) = M
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` S ) = M )
10		s1leng 11118	. . . . . 6 |- ( X e. W -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
11	4, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
12	9, 11	oveq12d 5987	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) = ( M + 1 ) )
13	7, 12	eqtrd 2240	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( M + 1 ) )
14		cats1len.4	. . 3 |- ( M + 1 ) = N
15	13, 14	eqtrdi 2256	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = N )
16	2, 15	eqtrid 2252	1 |- ( ph -> (♯ ` T ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2777   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   1c1 7963   + caddc 7965  ♯chash 10959  Word cword 11033   ++ cconcat 11086   <"cs1 11109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-1o 6527  df-er 6645  df-en 6853  df-dom 6854  df-fin 6855  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-inn 9074  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-fz 10168  df-fzo 10302  df-ihash 10960  df-word 11034  df-concat 11087  df-s1 11110

This theorem is referenced by:  s2leng  11282