Theorem cats1lend 11452

Description: The length of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	|- T = ( S ++ <" X "> )
cats1lend.s	|- ( ph -> S e. Word _V )
cats1lend.x	|- ( ph -> X e. W )
cats1lend.3	|- (♯ ` S ) = M
cats1len.4	|- ( M + 1 ) = N

Assertion

Ref	Expression
cats1lend	|- ( ph -> (♯ ` T ) = N )

Proof of Theorem cats1lend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . 3 |- T = ( S ++ <" X "> )
2	1	fveq2i 5672	. 2 |- (♯ ` T ) = (♯ ` ( S ++ <" X "> ) )
3		cats1lend.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. Word _V )
4		cats1lend.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. W )
5	4	s1cld 11303	. . . . 5 |- ( ph -> <" X "> e. Word W )
6		ccatlen 11276	. . . . 5 |- ( ( S e. Word _V /\ <" X "> e. Word W ) -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) )
8		cats1lend.3	. . . . . 6 |- (♯ ` S ) = M
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` S ) = M )
10		s1leng 11305	. . . . . 6 |- ( X e. W -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
11	4, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` <" X "> ) = 1 )
12	9, 11	oveq12d 6067	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` <" X "> ) ) = ( M + 1 ) )
13	7, 12	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = ( M + 1 ) )
14		cats1len.4	. . 3 |- ( M + 1 ) = N
15	13, 14	eqtrdi 2281	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( S ++ <" X "> ) ) = N )
16	2, 15	eqtrid 2277	1 |- ( ph -> (♯ ` T ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   1c1 8124   + caddc 8126  ♯chash 11133  Word cword 11217   ++ cconcat 11271   <"cs1 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-ihash 11134  df-word 11218  df-concat 11272  df-s1 11297

This theorem is referenced by:  s2leng  11474