Theorem ccatlen 11074

Description: The length of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by JJ, 1-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlen	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )

Proof of Theorem ccatlen

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11035	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S e. Fin )
2		wrdfin 11035	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11071	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5	4	fveq2d 5593	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) ) )
6		fvexg 5608	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ` x ) e. _V )
7	6	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ` x ) e. _V )
8		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> T e. Word B )
9		elfzoelz 10289	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> x e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> x e. ZZ )
11		lencl 11020	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
13	12	nn0zd 9513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
14	10, 13	zsubcld 9520	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( x - (♯ ` S ) ) e. ZZ )
15		fvexg 5608	. . . . . . 7 |- ( ( T e. Word B /\ ( x - (♯ ` S ) ) e. ZZ ) -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
16	8, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
17	7, 16	ifexd 4539	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. _V )
18	17	ralrimiva 2580	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> A. x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. _V )
19		eqid 2206	. . . . 5 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) )
20	19	fnmpt 5412	. . . 4 |- ( A. x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. _V -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
21	18, 20	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
22		0zd 9404	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> 0 e. ZZ )
23	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 9513	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
25		lencl 11020	. . . . . . 7 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
26	25	nn0zd 9513	. . . . . 6 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` T ) e. ZZ )
28	24, 27	zaddcld 9519	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ )
29		fzofig 10599	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
30	22, 28, 29	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
31		fihashfn 10967	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
32	21, 30, 31	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
33		nn0addcl 9350	. . . 4 |- ( ( (♯ ` S ) e. NN0 /\ (♯ ` T ) e. NN0 ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
34	11, 25, 33	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
35		hashfzo0 10990	. . 3 |- ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
36	34, 35	syl 14	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
37	5, 32, 36	3eqtrd 2243	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   ifcif 3575   |-> cmpt 4113   Fn wfn 5275   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Fincfn 6840   0cc0 7945   + caddc 7948   - cmin 8263   NN0cn0 9315   ZZcz 9392  ..^cfzo 10284  ♯chash 10942  Word cword 11016   ++ cconcat 11069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-concat 11070

This theorem is referenced by:  ccat0  11075  elfzelfzccat  11079  ccatsymb  11081  ccatass  11087  lswccatn0lsw  11090  ccatws1leng  11111  ccatswrd  11146  swrdccat2  11147  ccatpfx  11177  pfxccat1  11178  lenrevpfxcctswrd  11188  ccatopth  11192  ccatopth2  11193