Theorem ccatlen 11125

Description: The length of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by JJ, 1-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlen	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )

Proof of Theorem ccatlen

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11085	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S e. Fin )
2		wrdfin 11085	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11122	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5	4	fveq2d 5630	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) ) )
6		fvexg 5645	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ` x ) e. _V )
7	6	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( S ` x ) e. _V )
8		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> T e. Word B )
9		elfzoelz 10339	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> x e. ZZ )
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> x e. ZZ )
11		lencl 11070	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
13	12	nn0zd 9563	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
14	10, 13	zsubcld 9570	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( x - (♯ ` S ) ) e. ZZ )
15		fvexg 5645	. . . . . . 7 |- ( ( T e. Word B /\ ( x - (♯ ` S ) ) e. ZZ ) -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
16	8, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) e. _V )
17	7, 16	ifexd 4574	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. _V )
18	17	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> A. x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. _V )
19		eqid 2229	. . . . 5 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) )
20	19	fnmpt 5449	. . . 4 |- ( A. x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. _V -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
21	18, 20	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
22		0zd 9454	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> 0 e. ZZ )
23	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 9563	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
25		lencl 11070	. . . . . . 7 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
26	25	nn0zd 9563	. . . . . 6 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` T ) e. ZZ )
28	24, 27	zaddcld 9569	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ )
29		fzofig 10649	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
30	22, 28, 29	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin )
31		fihashfn 11017	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
32	21, 30, 31	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) )
33		nn0addcl 9400	. . . 4 |- ( ( (♯ ` S ) e. NN0 /\ (♯ ` T ) e. NN0 ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
34	11, 25, 33	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
35		hashfzo0 11040	. . 3 |- ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
36	34, 35	syl 14	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
37	5, 32, 36	3eqtrd 2266	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   ifcif 3602   |-> cmpt 4144   Fn wfn 5312   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   0cc0 7995   + caddc 7998   - cmin 8313   NN0cn0 9365   ZZcz 9442  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   ++ cconcat 11120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-concat 11121

This theorem is referenced by:  ccat0  11126  elfzelfzccat  11130  ccatsymb  11132  ccatass  11138  lswccatn0lsw  11141  ccatws1leng  11162  ccatswrd  11197  swrdccat2  11198  ccatpfx  11228  pfxccat1  11229  lenrevpfxcctswrd  11239  ccatopth  11243  ccatopth2  11244  swrdccatfn  11251  swrdccatin2  11256  pfxccatin12lem2c  11257  cats1lend  11294