Theorem ltrnqi 7043

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For the converse, see ltrnqg 7042. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqi	|- ( A <Q B -> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Proof of Theorem ltrnqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6987	. . . 4 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4505	. . 3 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3		ltrnqg 7042	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A <Q B -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
5	4	ibi 175	1 |- ( A <Q B -> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030   Q.cnq 6902   *Qcrq 6906   <Q cltq 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-eprel 4127  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-omul 6202  df-er 6308  df-ec 6310  df-qs 6314  df-ni 6926  df-mi 6928  df-lti 6929  df-mpq 6967  df-enq 6969  df-nqqs 6970  df-mqqs 6972  df-1nqqs 6973  df-rq 6974  df-ltnqqs 6975

This theorem is referenced by:  addnqprllem  7149  addnqprulem  7150  recexprlemdisj  7252  recexprlemloc  7253  recexprlem1ssl  7255  recexprlem1ssu  7256  caucvgprlemk  7287  caucvgprprlemk  7305