Theorem ltrnqi 7341

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For the converse, see ltrnqg 7340. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnqi	|- ( A <Q B -> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Proof of Theorem ltrnqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7285	. . . 4 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4638	. . 3 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3		ltrnqg 7340	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A <Q B -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
5	4	ibi 175	1 |- ( A <Q B -> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170   Q.cnq 7200   *Qcrq 7204   <Q cltq 7205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-mi 7226  df-lti 7227  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273

This theorem is referenced by:  addnqprllem  7447  addnqprulem  7448  recexprlemdisj  7550  recexprlemloc  7551  recexprlem1ssl  7553  recexprlem1ssu  7554  caucvgprlemk  7585  caucvgprprlemk  7603