Theorem caucvgprlemk 8026

Description: Lemma for caucvgpr 8043. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
caucvgprlemk.jkq	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
2		ltrelpi 7685	. . . . . . 7 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3	2	brel 4825	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 <N 𝐾 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
5		ltnnnq 7784	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N) → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
7	1, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q )
8		ltrnqi 7782	. . 3 ⊢ ([⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
11		ltsonq 7759	. . 3 ⊢ <Q Or Q
12		ltrelnq 7726	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
13	11, 12	sotri 5181	. 2 ⊢ (((*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) ∧ (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄) → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
14	9, 10, 13	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  1_oc1o 6674  [cec 6799  Ncnpi 7633   <_N clti 7636   ~_Q ceq 7640  Qcnq 7641  *_Qcrq 7645   <_Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-lti 7668  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  8040  caucvgprlem2  8041