Theorem caucvgprlemk 7732

Description: Lemma for caucvgpr 7749. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
caucvgprlemk.jkq	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
2		ltrelpi 7391	. . . . . . 7 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3	2	brel 4715	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 <N 𝐾 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
5		ltnnnq 7490	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N) → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
7	1, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q )
8		ltrnqi 7488	. . 3 ⊢ ([⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
11		ltsonq 7465	. . 3 ⊢ <Q Or Q
12		ltrelnq 7432	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
13	11, 12	sotri 5065	. 2 ⊢ (((*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) ∧ (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄) → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
14	9, 10, 13	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  1_oc1o 6467  [cec 6590  Ncnpi 7339   <_N clti 7342   ~_Q ceq 7346  Qcnq 7347  *_Qcrq 7351   <_Q cltq 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-lti 7374  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7746  caucvgprlem2  7747