ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlemk GIF version

Theorem caucvgprlemk 7485
Description: Lemma for caucvgpr 7502. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprlemk.jk (𝜑𝐽 <N 𝐾)
caucvgprlemk.jkq (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
Assertion
Ref Expression
caucvgprlemk (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Proof of Theorem caucvgprlemk
StepHypRef Expression
1 caucvgprlemk.jk . . . 4 (𝜑𝐽 <N 𝐾)
2 ltrelpi 7144 . . . . . . 7 <N ⊆ (N × N)
32brel 4591 . . . . . 6 (𝐽 <N 𝐾 → (𝐽N𝐾N))
41, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽N𝐾N))
5 ltnnnq 7243 . . . . 5 ((𝐽N𝐾N) → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
64, 5syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
71, 6mpbid 146 . . 3 (𝜑 → [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q )
8 ltrnqi 7241 . . 3 ([⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
97, 8syl 14 . 2 (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
10 caucvgprlemk.jkq . 2 (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
11 ltsonq 7218 . . 3 <Q Or Q
12 ltrelnq 7185 . . 3 <Q ⊆ (Q × Q)
1311, 12sotri 4934 . 2 (((*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) ∧ (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄) → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
149, 10, 13syl2anc 408 1 (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  cfv 5123  1oc1o 6306  [cec 6427  Ncnpi 7092   <N clti 7095   ~Q ceq 7099  Qcnq 7100  *Qcrq 7104   <Q cltq 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-mi 7126  df-lti 7127  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173
This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7499  caucvgprlem2  7500
  Copyright terms: Public domain W3C validator