Theorem caucvgprlemk 7791

Description: Lemma for caucvgpr 7808. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
caucvgprlemk.jkq	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
2		ltrelpi 7450	. . . . . . 7 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3	2	brel 4732	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 <N 𝐾 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
5		ltnnnq 7549	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N) → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
7	1, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q )
8		ltrnqi 7547	. . 3 ⊢ ([⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
11		ltsonq 7524	. . 3 ⊢ <Q Or Q
12		ltrelnq 7491	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
13	11, 12	sotri 5084	. 2 ⊢ (((*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) ∧ (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄) → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
14	9, 10, 13	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3638   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  1_oc1o 6505  [cec 6628  Ncnpi 7398   <_N clti 7401   ~_Q ceq 7405  Qcnq 7406  *_Qcrq 7410   <_Q cltq 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-eprel 4341  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-omul 6517  df-er 6630  df-ec 6632  df-qs 6636  df-ni 7430  df-mi 7432  df-lti 7433  df-mpq 7471  df-enq 7473  df-nqqs 7474  df-mqqs 7476  df-1nqqs 7477  df-rq 7478  df-ltnqqs 7479

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7805  caucvgprlem2  7806