Theorem caucvgprlemk 7639

Description: Lemma for caucvgpr 7656. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
caucvgprlemk.jkq	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
2		ltrelpi 7298	. . . . . . 7 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3	2	brel 4672	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 <N 𝐾 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
5		ltnnnq 7397	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N) → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
7	1, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q )
8		ltrnqi 7395	. . 3 ⊢ ([⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
11		ltsonq 7372	. . 3 ⊢ <Q Or Q
12		ltrelnq 7339	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
13	11, 12	sotri 5016	. 2 ⊢ (((*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) ∧ (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄) → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
14	9, 10, 13	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2146  ⟨cop 3592   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  1_oc1o 6400  [cec 6523  Ncnpi 7246   <_N clti 7249   ~_Q ceq 7253  Qcnq 7254  *_Qcrq 7258   <_Q cltq 7259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-mi 7280  df-lti 7281  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-mqqs 7324  df-1nqqs 7325  df-rq 7326  df-ltnqqs 7327

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7653  caucvgprlem2  7654