Theorem caucvgprlemk 7627

Description: Lemma for caucvgpr 7644. Reciprocals of positive integers decrease as the positive integers increase. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprlemk.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
caucvgprlemk.jkq	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
caucvgprlemk	⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Proof of Theorem caucvgprlemk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprlemk.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 <N 𝐾)
2		ltrelpi 7286	. . . . . . 7 ⊢ <N ⊆ (N × N)
3	2	brel 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 <N 𝐾 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N))
5		ltnnnq 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ N) → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 <N 𝐾 ↔ [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ))
7	1, 6	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝜑 → [⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q )
8		ltrnqi 7383	. . 3 ⊢ ([⟨𝐽, 1o⟩] ~Q <Q [⟨𝐾, 1o⟩] ~Q → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ))
10		caucvgprlemk.jkq	. 2 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
11		ltsonq 7360	. . 3 ⊢ <Q Or Q
12		ltrelnq 7327	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
13	11, 12	sotri 5006	. 2 ⊢ (((*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) ∧ (*Q‘[⟨𝐽, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄) → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)
14	9, 10, 13	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (*Q‘[⟨𝐾, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  1_oc1o 6388  [cec 6511  Ncnpi 7234   <_N clti 7237   ~_Q ceq 7241  Qcnq 7242  *_Qcrq 7246   <_Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  caucvgprlem1  7641  caucvgprlem2  7642