Theorem climmpt 12049

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmpt.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmpt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmpt.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
4		uzf 9907	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
5	4	ffvelcdmi 5836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
6		elex 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ V)
9		mptexg 5936	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝐺 ∈ V)
12	11	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
13		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
15		fvexg 5712	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ V)
16	15	adantll 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ V)
17		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
18	17, 3	fvmptg 5778	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ V) → (𝐺‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
19	14, 16, 18	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
20	19	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
21	1, 2, 12, 13, 20	climeq 12048	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904   ⇝ cli 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-clim 12028

This theorem is referenced by: (None)