Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climmpt GIF version

Theorem climmpt 11076
 Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmpt.2 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climmpt ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpr 109 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
3 climmpt.2 . . . 4 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
4 uzf 9336 . . . . . . . 8 :ℤ⟶𝒫 ℤ
54ffvelrni 5554 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
6 elex 2697 . . . . . . 7 ((ℤ𝑀) ∈ 𝒫 ℤ → (ℤ𝑀) ∈ V)
75, 6syl 14 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ∈ V)
81, 7eqeltrid 2226 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ V)
9 mptexg 5645 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V)
108, 9syl 14 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V)
113, 10eqeltrid 2226 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝐺 ∈ V)
1211adantr 274 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐺 ∈ V)
13 simpl 108 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 simpr 109 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
15 fvexg 5440 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ V)
1615adantll 467 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ V)
17 fveq2 5421 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1817, 3fvmptg 5497 . . . 4 ((𝑚𝑍 ∧ (𝐹𝑚) ∈ V) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
1914, 16, 18syl2anc 408 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
2019eqcomd 2145 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
211, 2, 12, 13, 20climeq 11075 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  𝒫 cpw 3510   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333   ⇝ cli 11054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-clim 11055 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator