ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climmpt GIF version

Theorem climmpt 11263
Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmpt.2 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climmpt ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpr 109 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
3 climmpt.2 . . . 4 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
4 uzf 9490 . . . . . . . 8 :ℤ⟶𝒫 ℤ
54ffvelrni 5630 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
6 elex 2741 . . . . . . 7 ((ℤ𝑀) ∈ 𝒫 ℤ → (ℤ𝑀) ∈ V)
75, 6syl 14 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ∈ V)
81, 7eqeltrid 2257 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ V)
9 mptexg 5721 . . . . 5 (𝑍 ∈ V → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V)
108, 9syl 14 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V)
113, 10eqeltrid 2257 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝐺 ∈ V)
1211adantr 274 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐺 ∈ V)
13 simpl 108 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 simpr 109 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
15 fvexg 5515 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ V)
1615adantll 473 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ V)
17 fveq2 5496 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1817, 3fvmptg 5572 . . . 4 ((𝑚𝑍 ∧ (𝐹𝑚) ∈ V) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
1914, 16, 18syl2anc 409 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
2019eqcomd 2176 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
211, 2, 12, 13, 20climeq 11262 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  𝒫 cpw 3566   class class class wbr 3989  cmpt 4050  cfv 5198  cz 9212  cuz 9487  cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-clim 11242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator