Theorem climmpt 11832

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmpt.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmpt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmpt.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
4		uzf 9741	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
5	4	ffvelcdmi 5774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ)
6		elex 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ∈ 𝒫 ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2316	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ V)
9		mptexg 5871	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V)
11	3, 10	eqeltrid 2316	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝐺 ∈ V)
12	11	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
13		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
15		fvexg 5651	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ V)
16	15	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ V)
17		fveq2 5632	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
18	17, 3	fvmptg 5715	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ V) → (𝐺‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
19	14, 16, 18	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
20	19	eqcomd 2235	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
21	1, 2, 12, 13, 20	climeq 11831	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ‘cfv 5321  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738   ⇝ cli 11810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-clim 11811

This theorem is referenced by: (None)