Theorem cnreim 11122

Description: Complex apartness in terms of real and imaginary parts. See also apreim 8622 which is similar but with different notation. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnreim	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )

Proof of Theorem cnreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11003	. . 3 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2		replim 11003	. . 3 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
3	1, 2	breqan12d 4045	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
4		recl 10997	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
6		imcl 10998	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
8		recl 10997	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
10		imcl 10998	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
12		apreim 8622	. . 3 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) /\ ( ( Re ` B ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
13	5, 7, 9, 11, 12	syl22anc 1250	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) # ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )
14	3, 13	bitrd 188	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A # B <-> ( ( Re ` A ) # ( Re ` B ) \/ ( Im ` A ) # ( Im ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   _ici 7874   + caddc 7875   x. cmul 7877   # cap 8600   Recre 10984   Imcim 10985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-2 9041  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988

This theorem is referenced by:  cndcap  15549