Theorem replim 11410

Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
replim	|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem replim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8165	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		crre 11408	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
3		crim 11409	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
4	3	oveq2d 6029	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) = ( _i x. y ) )
5	2, 4	oveq12d 6031	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) = ( x + ( _i x. y ) ) )
6	5	eqcomd 2235	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
7		id 19	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
8		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Re ` A ) = ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
9		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Im ` A ) = ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
10	9	oveq2d 6029	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) )
11	8, 10	oveq12d 6031	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
12	7, 11	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) ) )
13	6, 12	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
14	13	rexlimivv 2654	. 2 |- ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15	1, 14	syl 14	1 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   _ici 8024   + caddc 8025   x. cmul 8027   Recre 11391   Imcim 11392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-2 9192  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395

This theorem is referenced by:  remim  11411  reim0b  11413  rereb  11414  mulreap  11415  cjreb  11417  reneg  11419  readd  11420  remullem  11422  imneg  11427  imadd  11428  cjcj  11434  imval2  11445  cnrecnv  11461  replimi  11465  replimd  11492  cnreim  11529  abs00ap  11613  recan  11660  efeul  12285  absef  12321  absefib  12322  efieq1re  12323