Theorem replim 10871

Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
replim	|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem replim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7956	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		crre 10869	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
3		crim 10870	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
4	3	oveq2d 5894	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) = ( _i x. y ) )
5	2, 4	oveq12d 5896	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) = ( x + ( _i x. y ) ) )
6	5	eqcomd 2183	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
7		id 19	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
8		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Re ` A ) = ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
9		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Im ` A ) = ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
10	9	oveq2d 5894	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) )
11	8, 10	oveq12d 5896	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
12	7, 11	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) ) )
13	6, 12	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
14	13	rexlimivv 2600	. 2 |- ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15	1, 14	syl 14	1 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   _ici 7816   + caddc 7817   x. cmul 7819   Recre 10852   Imcim 10853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-2 8981  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856

This theorem is referenced by:  remim  10872  reim0b  10874  rereb  10875  mulreap  10876  cjreb  10878  reneg  10880  readd  10881  remullem  10883  imneg  10888  imadd  10889  cjcj  10895  imval2  10906  cnrecnv  10922  replimi  10926  replimd  10953  cnreim  10990  abs00ap  11074  recan  11121  efeul  11745  absef  11780  absefib  11781  efieq1re  11782