Theorem replim 11602

Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
replim	|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem replim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8312	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		crre 11600	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
3		crim 11601	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
4	3	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) = ( _i x. y ) )
5	2, 4	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) = ( x + ( _i x. y ) ) )
6	5	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
7		id 19	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
8		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Re ` A ) = ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
9		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Im ` A ) = ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
10	9	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) )
11	8, 10	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
12	7, 11	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) ) )
13	6, 12	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
14	13	rexlimivv 2674	. 2 |- ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15	1, 14	syl 14	1 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   _ici 8171   + caddc 8172   x. cmul 8174   Recre 11583   Imcim 11584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-2 9342  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587

This theorem is referenced by:  remim  11603  reim0b  11605  rereb  11606  mulreap  11607  cjreb  11609  reneg  11611  readd  11612  remullem  11614  imneg  11619  imadd  11620  cjcj  11626  imval2  11637  sq01  11638  cnrecnv  11654  replimi  11658  replimd  11685  cnreim  11722  abs00ap  11806  recan  11853  efeul  12479  absef  12515  absefib  12516  efieq1re  12517