Theorem replim 10870

Description: Reconstruct a complex number from its real and imaginary parts. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
replim	|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Proof of Theorem replim

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7955	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) )
2		crre 10868	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
3		crim 10869	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
4	3	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) = ( _i x. y ) )
5	2, 4	oveq12d 5895	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) = ( x + ( _i x. y ) ) )
6	5	eqcomd 2183	. . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
7		id 19	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( x + ( _i x. y ) ) )
8		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Re ` A ) = ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
9		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( Im ` A ) = ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
10	9	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) )
11	8, 10	oveq12d 5895	. . . . 5 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) )
12	7, 11	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) + ( _i x. ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ) ) ) )
13	6, 12	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
14	13	rexlimivv 2600	. 2 |- ( E. x e. RR E. y e. RR A = ( x + ( _i x. y ) ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15	1, 14	syl 14	1 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   _ici 7815   + caddc 7816   x. cmul 7818   Recre 10851   Imcim 10852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855

This theorem is referenced by:  remim  10871  reim0b  10873  rereb  10874  mulreap  10875  cjreb  10877  reneg  10879  readd  10880  remullem  10882  imneg  10887  imadd  10888  cjcj  10894  imval2  10905  cnrecnv  10921  replimi  10925  replimd  10952  cnreim  10989  abs00ap  11073  recan  11120  efeul  11744  absef  11779  absefib  11780  efieq1re  11781