Theorem divcanap2d 8972

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcanap2d	|- ( ph -> ( B x. ( A / B ) ) = A )

Proof of Theorem divcanap2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divclapd.3	. 2 |- ( ph -> B # 0 )
4		divcanap2 8860	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B x. ( A / B ) ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1273	1 |- ( ph -> ( B x. ( A / B ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   CCcc 8030   0cc0 8032   x. cmul 8037   # cap 8761   / cdiv 8852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853

This theorem is referenced by:  nneo  9583  zeo2  9586  intfracq  10583  modqlt  10596  resqrexlemover  11572  resqrexlemcalc1  11576  cvgratz  12095  mertenslemi1  12098  efgt0  12247  tanaddap  12302  divconjdvds  12412  bitsmod  12519  mulgcd  12589  qredeq  12670  qredeu  12671  prmind2  12694  oddpwdclemodd  12746  oddpwdclemdc  12747  pythagtriplem16  12854  pythagtriplem19  12857  pcprendvds2  12866  pcpremul  12868  pcadd  12915  4sqlem19  12984  znrrg  14677  dvrecap  15440  dveflem  15453  tangtx  15565  mersenne  15724  perfectlem2  15727  perfect  15728  lgseisenlem1  15802  lgseisenlem3  15804  lgsquadlem1  15809  lgsquad2lem1  15813  m1lgs  15817  2sqlem8  15855