Theorem divmulap2d 8676

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divassapd.4	|- ( ph -> C # 0 )

Assertion

Ref	Expression
divmulap2d	|- ( ph -> ( ( A / C ) = B <-> A = ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem divmulap2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmuld.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		divassapd.4	. 2 |- ( ph -> C # 0 )
5		divmulap2 8528	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C # 0 ) ) -> ( ( A / C ) = B <-> A = ( C x. B ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1221	1 |- ( ph -> ( ( A / C ) = B <-> A = ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814   CCcc 7709   0cc0 7711   x. cmul 7716   # cap 8435   / cdiv 8524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525

This theorem is referenced by:  modq0  10206  pwm1geoserap1  11382  efsub  11555  dvdsflip  11716  cncongr1  11951  reeff1oleme  13032  iooref1o  13546