Theorem efsub 11824

Description: Difference of exponents law for exponential function. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
efsub	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( A - B ) ) = ( ( exp ` A ) / ( exp ` B ) ) )

Proof of Theorem efsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efcl 11807	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) e. CC )
2	1	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` A ) e. CC )
3		efcl 11807	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( exp ` B ) e. CC )
4	3	3ad2ant2 1021	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` B ) e. CC )
5		efap0 11820	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( exp ` B ) # 0 )
6	5	3ad2ant2 1021	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` B ) # 0 )
7	2, 4, 6	divrecapd 8812	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` A ) / ( exp ` B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( 1 / ( exp ` B ) ) ) )
8	7	3anidm23 1308	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` A ) / ( exp ` B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( 1 / ( exp ` B ) ) ) )
9		efcan 11819	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( ( exp ` B ) x. ( exp ` -u B ) ) = 1 )
10	9	eqcomd 2199	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> 1 = ( ( exp ` B ) x. ( exp ` -u B ) ) )
11		1cnd 8035	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> 1 e. CC )
12		negcl 8219	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
13		efcl 11807	. . . . . . . 8 |- ( -u B e. CC -> ( exp ` -u B ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( exp ` -u B ) e. CC )
15	11, 14, 3, 5	divmulap2d 8843	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( ( 1 / ( exp ` B ) ) = ( exp ` -u B ) <-> 1 = ( ( exp ` B ) x. ( exp ` -u B ) ) ) )
16	10, 15	mpbird 167	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( 1 / ( exp ` B ) ) = ( exp ` -u B ) )
17	16	oveq2d 5934	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( ( exp ` A ) x. ( 1 / ( exp ` B ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` -u B ) ) )
18	17	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` A ) x. ( 1 / ( exp ` B ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` -u B ) ) )
19		efadd 11818	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( exp ` ( A + -u B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` -u B ) ) )
20	12, 19	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( A + -u B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` -u B ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2229	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( exp ` A ) x. ( 1 / ( exp ` B ) ) ) = ( exp ` ( A + -u B ) ) )
22		negsub 8267	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
23	22	fveq2d 5558	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( A + -u B ) ) = ( exp ` ( A - B ) ) )
24	8, 21, 23	3eqtrrd 2231	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( exp ` ( A - B ) ) = ( ( exp ` A ) / ( exp ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   - cmin 8190   -ucneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691   expce 11785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ico 9960  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791

This theorem is referenced by:  reeff1oleme  14907  relogdiv  15005