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Theorem cncongr1 12073
Description: One direction of the bicondition in cncongr 12075. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )

Proof of Theorem cncongr1
Dummy variables  k  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 9282 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  ZZ )
213adant2 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
3 zmulcl 9282 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
433adant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
5 simpl 109 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
6 congr 12070 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) ) )
72, 4, 5, 6syl2an3an 1298 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
8 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  C  e.  ZZ )
9 nnz 9248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
10 nnne0 8923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
119, 10jca 306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
13 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( C  gcd  N
)  =  ( C  gcd  N ) )
148, 12, 133jca 1177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) )
1514ex 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
16153ad2ant3 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
1716com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
1817adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N
) ) ) )
1918impcom 125 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N
) ) )
20 divgcdcoprmex 12072 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
2119, 20syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
2221adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
23 oveq2 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
k  x.  N )  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
24233ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( k  x.  N
)  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
2524adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
k  x.  N )  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
26 oveq2 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )
27 oveq2 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( B  x.  C )  =  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )
2826, 27oveq12d 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) ) ) )
29283ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
)  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) ) )
3029adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) ) ) )
3125, 30eqeq12d 2192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) )  <->  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) ) ) )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
3332zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  CC )
35 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
379ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3836, 37gcdcld 11939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
3938nn0cnd 9207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
4039ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
41 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
4241zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  e.  CC )
4342adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  CC )
4434, 40, 43mul12d 8086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s ) ) )
45 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
4645zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
4746ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
4835ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
495nnzd 9350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5049adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5150adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5248, 51gcdcld 11939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
5352nn0cnd 9207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
55 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
5655zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  r  e.  CC )
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
r  e.  CC )
5847, 54, 57mul12d 8086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) ) )
59 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
6059zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
6160ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
6236, 50gcdcld 11939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
6362nn0cnd 9207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
6463ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
6561, 64, 57mul12d 8086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) )
6658, 65oveq12d 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) ) )
6744, 66eqeq12d 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r
) ) ) ) )
6845ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
6955adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
r  e.  ZZ )
7068, 69zmulcld 9357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  ZZ )
7170zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  CC )
7259ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
7372, 69zmulcld 9357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  ZZ )
7473zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  CC )
7564, 71, 74subdid 8348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  gcd  N )  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) ) )
7675eqcomd 2183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r
) )  -  (
( C  gcd  N
)  x.  ( B  x.  r ) ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) ) ) )
7776eqeq2d 2189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r
) ) )  <->  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) ) ) )
7832adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  ZZ )
79 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  ZZ )
8078, 79zmulcld 9357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  s
)  e.  ZZ )
8180zcnd 9352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  s
)  e.  CC )
82 zmulcl 9282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  r
)  e.  ZZ )
8382ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  ZZ )
84 zmulcl 9282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  r
)  e.  ZZ )
8584ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  ZZ )
8683, 85zsubcld 9356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  ZZ )
8786zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  CC )
8887ex 115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  e.  CC ) )
89883adant3 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) )  e.  CC ) )
9089ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  e.  CC ) )
9190imp 124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  CC )
9210ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  =/=  0
)
93 gcd2n0cl 11940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN )
9436, 50, 92, 93syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN )
9594nnne0d 8940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  =/=  0 )
9695ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  =/=  0 )
9752adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  NN0 )
9897nn0zd 9349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  ZZ )
99 0zd 9241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
0  e.  ZZ )
100 zapne 9303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
10198, 99, 100syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
10296, 101mpbird 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
) #  0 )
10381, 91, 64, 102mulcanapd 8594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )  <-> 
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) ) )
10467, 77, 1033bitrd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) ) ) )
105104adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) ) ) )
106 zcn 9234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
107 zcn 9234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
108106, 107anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
1091083adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
110109ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
111110, 56anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  r  e.  CC ) )
112 df-3an 980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  r  e.  CC ) )
113111, 112sylibr 134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )
)
114 subdir 8320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  r )  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) ) )
115113, 114syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  -  B )  x.  r
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )
116115eqcomd 2183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r ) )
117116adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  =  ( ( A  -  B )  x.  r ) )
118117eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r ) ) )
1195nncnd 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
120119adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
121120ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
12279zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  CC )
123121, 122, 40, 102divmulap2d 8757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  <-> 
N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
124 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ ) )
12569adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
r  e.  ZZ )
1265adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
127 divgcdnnr 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
128126, 36, 127syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  NN )
129128ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
130 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
131130eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
132131adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
133129, 132mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
s  e.  NN )
134125, 133jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )
135124, 134jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )
136 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )
137 nnz 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ZZ )
138137adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  s  e.  ZZ )
139138anim2i 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
140139adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
141 dvdsmul2 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  ||  ( k  x.  s ) )
142140, 141syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  s  ||  (
k  x.  s ) )
143 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
s  ||  ( k  x.  s )  <->  s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
) ) )
144 zsubcl 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
145144zcnd 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
146145adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
147 zcn 9234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
148147ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  r  e.  CC )
149148adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  r  e.  CC )
150146, 149mulcomd 7956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  -  B )  x.  r )  =  ( r  x.  ( A  -  B ) ) )
151150breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
)  <->  s  ||  (
r  x.  ( A  -  B ) ) ) )
152137anim2i 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
153 gcdcom 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( r  gcd  s
)  =  ( s  gcd  r ) )
154152, 153syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( r  gcd  s
)  =  ( s  gcd  r ) )
155154eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  <-> 
( s  gcd  r
)  =  1 ) )
156155ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  <->  ( s  gcd  r )  =  1 ) )
157152adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
158157ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )
159144, 158anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) ) )
160159ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
161 df-3an 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  <->  ( (
s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
162160, 161sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
163 coprmdvds 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  (
( s  ||  (
r  x.  ( A  -  B ) )  /\  ( s  gcd  r )  =  1 )  ->  s  ||  ( A  -  B
) ) )
164162, 163syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s 
||  ( r  x.  ( A  -  B
) )  /\  (
s  gcd  r )  =  1 )  -> 
s  ||  ( A  -  B ) ) )
165 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  s  e.  NN )
166165anim2i 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  s  e.  NN ) )
167166ancomd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
168 3anass 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( s  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
169167, 168sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
170 moddvds 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s )  <->  s  ||  ( A  -  B
) ) )
171169, 170syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
)  <->  s  ||  ( A  -  B )
) )
172164, 171sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s 
||  ( r  x.  ( A  -  B
) )  /\  (
s  gcd  r )  =  1 )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) )
173172expcomd 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s  gcd  r )  =  1  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
174156, 173sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
175174com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
176151, 175sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
177176com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s 
||  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
178143, 177syl6bi 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
s  ||  ( k  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) ) )
179178com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( k  x.  s
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
180142, 179mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
181180ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
1821813adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
183182adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
184183impl 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
185184adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
186185imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
187 eqtr2 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  ->  M  =  s )
188 oveq2 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  =  s  ->  ( A  mod  M )  =  ( A  mod  s
) )
189 oveq2 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  =  s  ->  ( B  mod  M )  =  ( B  mod  s
) )
190188, 189eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
191187, 190syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
192191ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
193192eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
194193ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
195194ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
196195imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
197196adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
198186, 197sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
199198ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
200135, 136, 199syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
201200ex 115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) ) )
202123, 201sylbird 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) ) )
203202com3l 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) ) )
204203a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) ) ) )
2052043imp 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
206205impcom 125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
207118, 206sylbid 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
208105, 207sylbid 150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) )
20931, 208sylbid 150 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
210209ex 115 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 )  ->  ( (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) )
211210rexlimdvva 2602 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 )  ->  ( (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) )
21222, 211mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
213212rexlimdva 2594 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
2147, 213sylbid 150 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   CCcc 7787   0cc0 7789   1c1 7790    x. cmul 7794    - cmin 8105   # cap 8515    / cdiv 8605   NNcn 8895   NN0cn0 9152   ZZcz 9229    mod cmo 10295    || cdvds 11765    gcd cgcd 11913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-sup 6976  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-fl 10243  df-mod 10296  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-dvds 11766  df-gcd 11914
This theorem is referenced by:  cncongr  12075
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