Theorem cncongr1 12425

Description: One direction of the bicondition in cncongr 12427. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cncongr1	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )

Proof of Theorem cncongr1

Dummy variables k r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9426	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. C ) e. ZZ )
2	1	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. C ) e. ZZ )
3		zmulcl 9426	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
4	3	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> N e. NN )
6		congr 12422	. . 3 |- ( ( ( A x. C ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> E. k e. ZZ ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl2an3an 1311	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> E. k e. ZZ ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
8		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> C e. ZZ )
9		nnz 9391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
10		nnne0 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
13		eqidd 2206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( C gcd N ) = ( C gcd N ) )
14	8, 12, 13	3jca 1180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ZZ -> ( N e. NN -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
16	15	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( N e. NN -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
17	16	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
19	18	impcom 125	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) )
20		divgcdcoprmex 12424	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) -> E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) )
23		oveq2 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( k x. N ) = ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
24	23	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( k x. N ) = ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( k x. N ) = ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
26		oveq2 5952	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( A x. C ) = ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) )
27		oveq2 5952	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( B x. C ) = ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) )
28	26, 27	oveq12d 5962	. . . . . . . . . 10 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) )
29	28	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) )
31	25, 30	eqeq12d 2220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) <-> ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) ) )
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
33	32	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. CC )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> k e. CC )
35		simp3 1002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> C e. ZZ )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> C e. ZZ )
37	9	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
38	36, 37	gcdcld 12289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
39	38	nn0cnd 9350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
40	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> s e. ZZ )
42	41	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> s e. CC )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> s e. CC )
44	34, 40, 43	mul12d 8224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) )
45		simp1 1000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> A e. ZZ )
46	45	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> A e. CC )
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> A e. CC )
48	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> C e. ZZ )
49	5	nnzd 9494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> N e. ZZ )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
52	48, 51	gcdcld 12289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
53	52	nn0cnd 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( C gcd N ) e. CC )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
55		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> r e. ZZ )
56	55	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> r e. CC )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> r e. CC )
58	47, 54, 57	mul12d 8224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) )
59		simp2 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> B e. ZZ )
60	59	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> B e. CC )
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> B e. CC )
62	36, 50	gcdcld 12289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
63	62	nn0cnd 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
64	63	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
65	61, 64, 57	mul12d 8224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) )
66	58, 65	oveq12d 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) )
67	44, 66	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) <-> ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) ) )
68	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
69	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> r e. ZZ )
70	68, 69	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. r ) e. ZZ )
71	70	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. r ) e. CC )
72	59	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
73	72, 69	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. r ) e. ZZ )
74	73	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. r ) e. CC )
75	64, 71, 74	subdid 8486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) )
76	75	eqcomd 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
77	76	eqeq2d 2217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) <-> ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) ) )
78	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> k e. ZZ )
79		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> s e. ZZ )
80	78, 79	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( k x. s ) e. ZZ )
81	80	zcnd 9496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( k x. s ) e. CC )
82		zmulcl 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( A x. r ) e. ZZ )
83	82	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. r ) e. ZZ )
84		zmulcl 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( B x. r ) e. ZZ )
85	84	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. r ) e. ZZ )
86	83, 85	zsubcld 9500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. ZZ )
87	86	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC )
88	87	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC ) )
89	88	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC ) )
90	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC ) )
91	90	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC )
92	10	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N =/= 0 )
93		gcd2n0cl 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( C gcd N ) e. NN )
94	36, 50, 92, 93	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. NN )
95	94	nnne0d 9081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) =/= 0 )
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) =/= 0 )
97	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
98	97	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. ZZ )
99		0zd 9384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> 0 e. ZZ )
100		zapne 9447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C gcd N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( C gcd N ) # 0 <-> ( C gcd N ) =/= 0 ) )
101	98, 99, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd N ) # 0 <-> ( C gcd N ) =/= 0 ) )
102	96, 101	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) # 0 )
103	81, 91, 64, 102	mulcanapd 8734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
104	67, 77, 103	3bitrd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
105	104	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
106		zcn 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
107		zcn 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
108	106, 107	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
109	108	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
110	109	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
111	110, 56	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ r e. CC ) )
112		df-3an 983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ r e. CC ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ r e. CC ) )
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A e. CC /\ B e. CC /\ r e. CC ) )
114		subdir 8458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ r e. CC ) -> ( ( A - B ) x. r ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) )
115	113, 114	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A - B ) x. r ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) )
116	115	eqcomd 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) = ( ( A - B ) x. r ) )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) = ( ( A - B ) x. r ) )
118	117	eqeq2d 2217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) ) )
119	5	nncnd 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> N e. CC )
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. CC )
121	120	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> N e. CC )
122	79	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> s e. CC )
123	121, 122, 40, 102	divmulap2d 8897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s <-> N = ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
124		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) )
125	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> r e. ZZ )
126	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. NN )
127		divgcdnnr 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ C e. ZZ ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
128	126, 36, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
129	128	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
130		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = ( N / ( C gcd N ) ) -> ( s e. NN <-> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN ) )
131	130	eqcoms 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( s e. NN <-> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN ) )
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( s e. NN <-> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN ) )
133	129, 132	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> s e. NN )
134	125, 133	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( r e. ZZ /\ s e. NN ) )
135	124, 134	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) )
136		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( N / ( C gcd N ) ) = s )
137		nnz 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( s e. NN -> s e. ZZ )
138	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
139	138	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( k e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
140	139	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
141		dvdsmul2 12125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> s || ( k x. s ) )
142	140, 141	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> s || ( k x. s ) )
143		breq2 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( s || ( k x. s ) <-> s || ( ( A - B ) x. r ) ) )
144		zsubcl 9413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
145	144	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. CC )
146	145	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( A - B ) e. CC )
147		zcn 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( r e. ZZ -> r e. CC )
148	147	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> r e. CC )
149	148	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> r e. CC )
150	146, 149	mulcomd 8094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A - B ) x. r ) = ( r x. ( A - B ) ) )
151	150	breq2d 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( ( A - B ) x. r ) <-> s || ( r x. ( A - B ) ) ) )
152	137	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
153		gcdcom 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( r gcd s ) = ( s gcd r ) )
154	152, 153	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( r gcd s ) = ( s gcd r ) )
155	154	eqeq1d 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( r gcd s ) = 1 <-> ( s gcd r ) = 1 ) )
156	155	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 <-> ( s gcd r ) = 1 ) )
157	152	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
158	157	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) )
159	144, 158	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A - B ) e. ZZ /\ ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) ) )
160	159	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) /\ ( A - B ) e. ZZ ) )
161		df-3an 983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) <-> ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) /\ ( A - B ) e. ZZ ) )
162	160, 161	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) )
163		coprmdvds 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( ( s || ( r x. ( A - B ) ) /\ ( s gcd r ) = 1 ) -> s || ( A - B ) ) )
164	162, 163	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s || ( r x. ( A - B ) ) /\ ( s gcd r ) = 1 ) -> s || ( A - B ) ) )
165		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> s e. NN )
166	165	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ s e. NN ) )
167	166	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) )
168		3anass 985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( s e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) <-> ( s e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) )
169	167, 168	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
170		moddvds 12110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( s e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod s ) = ( B mod s ) <-> s || ( A - B ) ) )
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A mod s ) = ( B mod s ) <-> s || ( A - B ) ) )
172	164, 171	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s || ( r x. ( A - B ) ) /\ ( s gcd r ) = 1 ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
173	172	expcomd 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s gcd r ) = 1 -> ( s || ( r x. ( A - B ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
174	156, 173	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( s || ( r x. ( A - B ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
175	174	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( r x. ( A - B ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
176	151, 175	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( ( A - B ) x. r ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
177	176	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( s || ( ( A - B ) x. r ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
178	143, 177	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( s || ( k x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
179	178	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( k x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
180	142, 179	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
181	180	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
182	181	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
183	182	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
184	183	impl 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
185	184	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
186	185	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
187		eqtr2 2224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N / ( C gcd N ) ) = M /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> M = s )
188		oveq2 5952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( M = s -> ( A mod M ) = ( A mod s ) )
189		oveq2 5952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( M = s -> ( B mod M ) = ( B mod s ) )
190	188, 189	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( M = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
191	187, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N / ( C gcd N ) ) = M /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
192	191	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N / ( C gcd N ) ) = M -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
193	192	eqcoms 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M = ( N / ( C gcd N ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
194	193	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
195	194	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
196	195	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
197	196	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
198	186, 197	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
199	198	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
200	135, 136, 199	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
201	200	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) )
202	123, 201	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) )
203	202	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) )
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) ) )
205	204	3imp 1196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
206	205	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
207	118, 206	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
208	105, 207	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
209	31, 208	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
210	209	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
211	210	rexlimdvva 2631	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
212	22, 211	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
213	212	rexlimdva 2623	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
214	7, 213	sylbid 150	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   E.wrex 2485   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   x. cmul 7930   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   mod cmo 10467   || cdvds 12098   gcd cgcd 12274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-dvds 12099  df-gcd 12275

This theorem is referenced by:  cncongr  12427