Theorem cncongr1 12271

Description: One direction of the bicondition in cncongr 12273. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cncongr1	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )

Proof of Theorem cncongr1

Dummy variables k r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9379	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. C ) e. ZZ )
2	1	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A x. C ) e. ZZ )
3		zmulcl 9379	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
4	3	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> N e. NN )
6		congr 12268	. . 3 |- ( ( ( A x. C ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> E. k e. ZZ ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl2an3an 1309	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) <-> E. k e. ZZ ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) ) )
8		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> C e. ZZ )
9		nnz 9345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
10		nnne0 9018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
13		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( C gcd N ) = ( C gcd N ) )
14	8, 12, 13	3jca 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) )
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ZZ -> ( N e. NN -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
16	15	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( N e. NN -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
17	16	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) ) )
19	18	impcom 125	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) )
20		divgcdcoprmex 12270	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( C gcd N ) = ( C gcd N ) ) -> E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) )
23		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( k x. N ) = ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
24	23	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( k x. N ) = ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( k x. N ) = ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
26		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( A x. C ) = ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) )
27		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( B x. C ) = ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) )
28	26, 27	oveq12d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) )
29	28	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) )
31	25, 30	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) <-> ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) ) )
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
33	32	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. CC )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> k e. CC )
35		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> C e. ZZ )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> C e. ZZ )
37	9	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
38	36, 37	gcdcld 12135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
39	38	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
40	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> s e. ZZ )
42	41	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> s e. CC )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> s e. CC )
44	34, 40, 43	mul12d 8178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) )
45		simp1 999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> A e. ZZ )
46	45	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> A e. CC )
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> A e. CC )
48	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> C e. ZZ )
49	5	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> N e. ZZ )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
52	48, 51	gcdcld 12135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
53	52	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( C gcd N ) e. CC )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
55		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> r e. ZZ )
56	55	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> r e. CC )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> r e. CC )
58	47, 54, 57	mul12d 8178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) )
59		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> B e. ZZ )
60	59	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> B e. CC )
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> B e. CC )
62	36, 50	gcdcld 12135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
63	62	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
64	63	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. CC )
65	61, 64, 57	mul12d 8178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) )
66	58, 65	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) )
67	44, 66	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) <-> ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) ) )
68	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
69	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> r e. ZZ )
70	68, 69	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. r ) e. ZZ )
71	70	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. r ) e. CC )
72	59	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
73	72, 69	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. r ) e. ZZ )
74	73	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. r ) e. CC )
75	64, 71, 74	subdid 8440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) )
76	75	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
77	76	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( ( C gcd N ) x. ( A x. r ) ) - ( ( C gcd N ) x. ( B x. r ) ) ) <-> ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) ) )
78	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> k e. ZZ )
79		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> s e. ZZ )
80	78, 79	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( k x. s ) e. ZZ )
81	80	zcnd 9449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( k x. s ) e. CC )
82		zmulcl 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( A x. r ) e. ZZ )
83	82	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A x. r ) e. ZZ )
84		zmulcl 9379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ r e. ZZ ) -> ( B x. r ) e. ZZ )
85	84	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( B x. r ) e. ZZ )
86	83, 85	zsubcld 9453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. ZZ )
87	86	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC )
88	87	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC ) )
89	88	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC ) )
90	89	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC ) )
91	90	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) e. CC )
92	10	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N =/= 0 )
93		gcd2n0cl 12136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( C gcd N ) e. NN )
94	36, 50, 92, 93	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) e. NN )
95	94	nnne0d 9035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( C gcd N ) =/= 0 )
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) =/= 0 )
97	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. NN0 )
98	97	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) e. ZZ )
99		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> 0 e. ZZ )
100		zapne 9400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C gcd N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( C gcd N ) # 0 <-> ( C gcd N ) =/= 0 ) )
101	98, 99, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd N ) # 0 <-> ( C gcd N ) =/= 0 ) )
102	96, 101	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( C gcd N ) # 0 )
103	81, 91, 64, 102	mulcanapd 8688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( ( C gcd N ) x. ( k x. s ) ) = ( ( C gcd N ) x. ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
104	67, 77, 103	3bitrd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
105	104	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) ) )
106		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
107		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
108	106, 107	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
109	108	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
110	109	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( A e. CC /\ B e. CC ) )
111	110, 56	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ r e. CC ) )
112		df-3an 982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ r e. CC ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ r e. CC ) )
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( A e. CC /\ B e. CC /\ r e. CC ) )
114		subdir 8412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ r e. CC ) -> ( ( A - B ) x. r ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) )
115	113, 114	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A - B ) x. r ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) )
116	115	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) = ( ( A - B ) x. r ) )
117	116	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) = ( ( A - B ) x. r ) )
118	117	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) <-> ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) ) )
119	5	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) -> N e. CC )
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. CC )
121	120	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> N e. CC )
122	79	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> s e. CC )
123	121, 122, 40, 102	divmulap2d 8851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s <-> N = ( ( C gcd N ) x. s ) ) )
124		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) )
125	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> r e. ZZ )
126	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> N e. NN )
127		divgcdnnr 12143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ C e. ZZ ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
128	126, 36, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
129	128	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN )
130		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = ( N / ( C gcd N ) ) -> ( s e. NN <-> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN ) )
131	130	eqcoms 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( s e. NN <-> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN ) )
132	131	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( s e. NN <-> ( N / ( C gcd N ) ) e. NN ) )
133	129, 132	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> s e. NN )
134	125, 133	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( r e. ZZ /\ s e. NN ) )
135	124, 134	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) )
136		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( N / ( C gcd N ) ) = s )
137		nnz 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( s e. NN -> s e. ZZ )
138	137	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> s e. ZZ )
139	138	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( k e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
140	139	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
141		dvdsmul2 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> s || ( k x. s ) )
142	140, 141	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> s || ( k x. s ) )
143		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( s || ( k x. s ) <-> s || ( ( A - B ) x. r ) ) )
144		zsubcl 9367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
145	144	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. CC )
146	145	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( A - B ) e. CC )
147		zcn 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( r e. ZZ -> r e. CC )
148	147	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> r e. CC )
149	148	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> r e. CC )
150	146, 149	mulcomd 8048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A - B ) x. r ) = ( r x. ( A - B ) ) )
151	150	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( ( A - B ) x. r ) <-> s || ( r x. ( A - B ) ) ) )
152	137	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
153		gcdcom 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( r gcd s ) = ( s gcd r ) )
154	152, 153	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( r gcd s ) = ( s gcd r ) )
155	154	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( r e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( r gcd s ) = 1 <-> ( s gcd r ) = 1 ) )
156	155	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 <-> ( s gcd r ) = 1 ) )
157	152	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) )
158	157	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) )
159	144, 158	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A - B ) e. ZZ /\ ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) ) )
160	159	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) /\ ( A - B ) e. ZZ ) )
161		df-3an 982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) <-> ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ ) /\ ( A - B ) e. ZZ ) )
162	160, 161	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) )
163		coprmdvds 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( s e. ZZ /\ r e. ZZ /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( ( s || ( r x. ( A - B ) ) /\ ( s gcd r ) = 1 ) -> s || ( A - B ) ) )
164	162, 163	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s || ( r x. ( A - B ) ) /\ ( s gcd r ) = 1 ) -> s || ( A - B ) ) )
165		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> s e. NN )
166	165	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ s e. NN ) )
167	166	ancomd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) )
168		3anass 984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( s e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) <-> ( s e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) )
169	167, 168	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
170		moddvds 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( s e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod s ) = ( B mod s ) <-> s || ( A - B ) ) )
171	169, 170	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( A mod s ) = ( B mod s ) <-> s || ( A - B ) ) )
172	164, 171	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s || ( r x. ( A - B ) ) /\ ( s gcd r ) = 1 ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
173	172	expcomd 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( s gcd r ) = 1 -> ( s || ( r x. ( A - B ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
174	156, 173	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( s || ( r x. ( A - B ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
175	174	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( r x. ( A - B ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
176	151, 175	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( ( A - B ) x. r ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
177	176	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( s || ( ( A - B ) x. r ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
178	143, 177	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( s || ( k x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
179	178	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( s || ( k x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
180	142, 179	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
181	180	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
182	181	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
183	182	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) ) )
184	183	impl 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
185	184	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
186	185	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
187		eqtr2 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N / ( C gcd N ) ) = M /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> M = s )
188		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( M = s -> ( A mod M ) = ( A mod s ) )
189		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( M = s -> ( B mod M ) = ( B mod s ) )
190	188, 189	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( M = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
191	187, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N / ( C gcd N ) ) = M /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
192	191	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N / ( C gcd N ) ) = M -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
193	192	eqcoms 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M = ( N / ( C gcd N ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
194	193	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
195	194	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) ) )
196	195	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
197	196	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( A mod M ) = ( B mod M ) <-> ( A mod s ) = ( B mod s ) ) )
198	186, 197	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
199	198	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. NN ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
200	135, 136, 199	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( N / ( C gcd N ) ) = s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
201	200	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( N / ( C gcd N ) ) = s -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) )
202	123, 201	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) )
203	202	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) )
204	203	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) -> ( N = ( ( C gcd N ) x. s ) -> ( ( r gcd s ) = 1 -> ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) ) ) )
205	204	3imp 1195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
206	205	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A - B ) x. r ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
207	118, 206	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. s ) = ( ( A x. r ) - ( B x. r ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
208	105, 207	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. ( ( C gcd N ) x. s ) ) = ( ( A x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) - ( B x. ( ( C gcd N ) x. r ) ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
209	31, 208	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) /\ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
210	209	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ ( r e. ZZ /\ s e. ZZ ) ) -> ( ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
211	210	rexlimdvva 2622	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( E. r e. ZZ E. s e. ZZ ( C = ( ( C gcd N ) x. r ) /\ N = ( ( C gcd N ) x. s ) /\ ( r gcd s ) = 1 ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) ) )
212	22, 211	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
213	212	rexlimdva 2614	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. N ) = ( ( A x. C ) - ( B x. C ) ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )
214	7, 213	sylbid 150	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( N e. NN /\ M = ( N / ( C gcd N ) ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod N ) = ( ( B x. C ) mod N ) -> ( A mod M ) = ( B mod M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   E.wrex 2476   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   mod cmo 10414   || cdvds 11952   gcd cgcd 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121

This theorem is referenced by:  cncongr  12273