ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncongr1 Unicode version

Theorem cncongr1 11010
Description: One direction of the bicondition in cncongr 11012. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )

Proof of Theorem cncongr1
Dummy variables  k  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 8739 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  ZZ )
213adant2 960 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
3 zmulcl 8739 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
433adant1 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
5 simpl 107 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
6 congr 11007 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) ) )
72, 4, 5, 6syl2an3an 1232 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
8 simpl 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  C  e.  ZZ )
9 nnz 8705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
10 nnne0 8388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
119, 10jca 300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
1211adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
13 eqidd 2086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( C  gcd  N
)  =  ( C  gcd  N ) )
148, 12, 133jca 1121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) )
1514ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
16153ad2ant3 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
1716com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
1817adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N
) ) ) )
1918impcom 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N
) ) )
20 divgcdcoprmex 11009 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
2119, 20syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
2221adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
23 oveq2 5623 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
k  x.  N )  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
24233ad2ant2 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( k  x.  N
)  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
2524adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
k  x.  N )  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
26 oveq2 5623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )
27 oveq2 5623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( B  x.  C )  =  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )
2826, 27oveq12d 5633 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) ) ) )
29283ad2ant1 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
)  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) ) )
3029adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) ) ) )
3125, 30eqeq12d 2099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) )  <->  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) ) ) )
32 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
3332zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  CC )
35 simp3 943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
379ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3836, 37gcdcld 10885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
3938nn0cnd 8664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
4039ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
41 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
4241zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  e.  CC )
4342adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  CC )
4434, 40, 43mul12d 7581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s ) ) )
45 simp1 941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
4645zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
4746ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
4835ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
495nnzd 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5049adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5150adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5248, 51gcdcld 10885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
5352nn0cnd 8664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
5453adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
55 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
5655zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  r  e.  CC )
5756adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
r  e.  CC )
5847, 54, 57mul12d 7581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) ) )
59 simp2 942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
6059zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
6160ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
6236, 50gcdcld 10885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
6362nn0cnd 8664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
6463ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
6561, 64, 57mul12d 7581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) )
6658, 65oveq12d 5633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) ) )
6744, 66eqeq12d 2099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r
) ) ) ) )
6845ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
6955adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
r  e.  ZZ )
7068, 69zmulcld 8810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  ZZ )
7170zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  CC )
7259ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
7372, 69zmulcld 8810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  ZZ )
7473zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  CC )
7564, 71, 74subdid 7839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  gcd  N )  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) ) )
7675eqcomd 2090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r
) )  -  (
( C  gcd  N
)  x.  ( B  x.  r ) ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) ) ) )
7776eqeq2d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r
) ) )  <->  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) ) ) )
7832adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  ZZ )
79 simprr 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  ZZ )
8078, 79zmulcld 8810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  s
)  e.  ZZ )
8180zcnd 8805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  s
)  e.  CC )
82 zmulcl 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  r
)  e.  ZZ )
8382ad2ant2r 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  ZZ )
84 zmulcl 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  r
)  e.  ZZ )
8584ad2ant2lr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  ZZ )
8683, 85zsubcld 8809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  ZZ )
8786zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  CC )
8887ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  e.  CC ) )
89883adant3 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) )  e.  CC ) )
9089ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  e.  CC ) )
9190imp 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  CC )
9210ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  =/=  0
)
93 gcd2n0cl 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN )
9436, 50, 92, 93syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN )
9594nnne0d 8404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  =/=  0 )
9695ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  =/=  0 )
9752adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  NN0 )
9897nn0zd 8802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  ZZ )
99 0zd 8698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
0  e.  ZZ )
100 zapne 8757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
10198, 99, 100syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
10296, 101mpbird 165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
) #  0 )
10381, 91, 64, 102mulcanapd 8072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )  <-> 
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) ) )
10467, 77, 1033bitrd 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) ) ) )
105104adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) ) ) )
106 zcn 8691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
107 zcn 8691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
108106, 107anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
1091083adant3 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
110109ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
111110, 56anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  r  e.  CC ) )
112 df-3an 924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  r  e.  CC ) )
113111, 112sylibr 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )
)
114 subdir 7811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  r )  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) ) )
115113, 114syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  -  B )  x.  r
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )
116115eqcomd 2090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r ) )
117116adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  =  ( ( A  -  B )  x.  r ) )
118117eqeq2d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r ) ) )
1195nncnd 8374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
120119adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
121120ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
12279zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  CC )
123121, 122, 40, 102divmulap2d 8231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  <-> 
N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
124 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ ) )
12569adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
r  e.  ZZ )
1265adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
127 divgcdnnr 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
128126, 36, 127syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  NN )
129128ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
130 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
131130eqcoms 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
132131adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
133129, 132mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
s  e.  NN )
134125, 133jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )
135124, 134jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )
136 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )
137 nnz 8705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ZZ )
138137adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  s  e.  ZZ )
139138anim2i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
140139adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
141 dvdsmul2 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  ||  ( k  x.  s ) )
142140, 141syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  s  ||  (
k  x.  s ) )
143 breq2 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
s  ||  ( k  x.  s )  <->  s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
) ) )
144 zsubcl 8727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
145144zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
146145adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
147 zcn 8691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
148147ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  r  e.  CC )
149148adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  r  e.  CC )
150146, 149mulcomd 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  -  B )  x.  r )  =  ( r  x.  ( A  -  B ) ) )
151150breq2d 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
)  <->  s  ||  (
r  x.  ( A  -  B ) ) ) )
152137anim2i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
153 gcdcom 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( r  gcd  s
)  =  ( s  gcd  r ) )
154152, 153syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( r  gcd  s
)  =  ( s  gcd  r ) )
155154eqeq1d 2093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  <-> 
( s  gcd  r
)  =  1 ) )
156155ad2antll 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  <->  ( s  gcd  r )  =  1 ) )
157152adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
158157ancomd 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )
159144, 158anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) ) )
160159ancomd 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
161 df-3an 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  <->  ( (
s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
162160, 161sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
163 coprmdvds 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  (
( s  ||  (
r  x.  ( A  -  B ) )  /\  ( s  gcd  r )  =  1 )  ->  s  ||  ( A  -  B
) ) )
164162, 163syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s 
||  ( r  x.  ( A  -  B
) )  /\  (
s  gcd  r )  =  1 )  -> 
s  ||  ( A  -  B ) ) )
165 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  s  e.  NN )
166165anim2i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  s  e.  NN ) )
167166ancomd 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
168 3anass 926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( s  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
169167, 168sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
170 moddvds 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s )  <->  s  ||  ( A  -  B
) ) )
171169, 170syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
)  <->  s  ||  ( A  -  B )
) )
172164, 171sylibrd 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s 
||  ( r  x.  ( A  -  B
) )  /\  (
s  gcd  r )  =  1 )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) )
173172expcomd 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s  gcd  r )  =  1  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
174156, 173sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
175174com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
176151, 175sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
177176com3l 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s 
||  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
178143, 177syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
s  ||  ( k  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) ) )
179178com14 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( k  x.  s
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
180142, 179mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
181180ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
1821813adant3 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
183182adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
184183impl 372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
185184adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
186185imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
187 eqtr2 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  ->  M  =  s )
188 oveq2 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  =  s  ->  ( A  mod  M )  =  ( A  mod  s
) )
189 oveq2 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  =  s  ->  ( B  mod  M )  =  ( B  mod  s
) )
190188, 189eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
191187, 190syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
192191ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
193192eqcoms 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
194193ad2antll 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
195194ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
196195imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
197196adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
198186, 197sylibrd 167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
199198ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
200135, 136, 199syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
201200ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) ) )
202123, 201sylbird 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) ) )
203202com3l 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) ) )
204203a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) ) ) )
2052043imp 1135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
206205impcom 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
207118, 206sylbid 148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
208105, 207sylbid 148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) )
20931, 208sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
210209ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 )  ->  ( (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) )
211210rexlimdvva 2492 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 )  ->  ( (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) )
21222, 211mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
213212rexlimdva 2485 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
2147, 213sylbid 148 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   E.wrex 2356   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615   CCcc 7295   0cc0 7297   1c1 7298    x. cmul 7302    - cmin 7600   # cap 8002    / cdiv 8081   NNcn 8360   NN0cn0 8609   ZZcz 8686    mod cmo 9660    || cdvds 10721    gcd cgcd 10863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-sup 6626  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9784  df-iexp 9875  df-cj 10193  df-re 10194  df-im 10195  df-rsqrt 10348  df-abs 10349  df-dvds 10722  df-gcd 10864
This theorem is referenced by:  cncongr  11012
  Copyright terms: Public domain W3C validator