Theorem bcm1n 11185

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1n	|- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

Proof of Theorem bcm1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcp1n 11177	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) )
2		nnz 9642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	zcnd 9748	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
5		1cnd 8332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 8631	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( N _C K ) )
8	6	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) = ( N - K ) )
9	6, 8	oveq12d 6093	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
10	9	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
12	1, 11	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
13	12	3impia 1231	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
14	13	3anidm13 1337	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
15		elfznn0 10499	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. NN0 )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. NN0 )
17		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
18	17	nnnn0d 9599	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
19		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. ZZ )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
21	20	zred 9747	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. RR )
22	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 9747	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
24		elfzle2 10411	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ ( N - 1 ) )
26		zltlem1 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
27	19, 2, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
28	25, 27	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < N )
29	21, 23, 28	ltled 8435	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ N )
30		elfz2nn0 10497	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1212	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ( 0 ... N ) )
32		bcrpcl 11169	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
33	31, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
34	33	rpcnd 10078	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. CC )
35	19	zcnd 9748	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. CC )
37	4, 36	subcld 8627	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) e. CC )
38	36, 4	negsubdi2d 8643	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) = ( N - K ) )
39	21, 23	resubcld 8698	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. RR )
40	39	recnd 8344	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. CC )
41	4	addlidd 8466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 0 + N ) = N )
42	28, 41	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < ( 0 + N ) )
43		0red 8317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 0 e. RR )
44	21, 23, 43	ltsubaddd 8859	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( K - N ) < 0 <-> K < ( 0 + N ) ) )
45	42, 44	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) < 0 )
46	39, 45	lt0ap0d 8967	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) # 0 )
47	40, 46	negap0d 8949	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) # 0 )
48	38, 47	eqbrtrrd 4149	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) # 0 )
49	4, 37, 48	divclapd 9110	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N / ( N - K ) ) e. CC )
50		bcrpcl 11169	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
52	51	rpcnd 10078	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. CC )
53	51	rpap0d 10082	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) # 0 )
54	34, 49, 52, 53	divmulap2d 9144	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
55	14, 54	mpbird 167	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
56	55	oveq2d 6091	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) )
57		bccl2 11184	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. NN )
58	31, 57	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. NN )
59	58	nnap0d 9329	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) # 0 )
60	34, 52, 59, 53	recdivapd 9127	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) )
61	17	nnap0d 9329	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N # 0 )
62	4, 37, 61, 48	recdivapd 9127	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) = ( ( N - K ) / N ) )
63	56, 60, 62	3eqtr3d 2279	1 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   -ucneg 8488   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   RR+crp 10033   ...cfz 10390   _C cbc 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-bc 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilem2  13206