Theorem bcm1n 11207

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1n	|- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

Proof of Theorem bcm1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcp1n 11199	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) )
2		nnz 9663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	zcnd 9769	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
5		1cnd 8342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 8641	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( N _C K ) )
8	6	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) = ( N - K ) )
9	6, 8	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
10	9	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
12	1, 11	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
13	12	3impia 1231	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
14	13	3anidm13 1337	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
15		elfznn0 10521	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. NN0 )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. NN0 )
17		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
18	17	nnnn0d 9620	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
19		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. ZZ )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
21	20	zred 9768	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. RR )
22	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 9768	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
24		elfzle2 10432	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ ( N - 1 ) )
26		zltlem1 9702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
27	19, 2, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
28	25, 27	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < N )
29	21, 23, 28	ltled 8445	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ N )
30		elfz2nn0 10519	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1212	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ( 0 ... N ) )
32		bcrpcl 11191	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
33	31, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
34	33	rpcnd 10099	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. CC )
35	19	zcnd 9769	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. CC )
37	4, 36	subcld 8637	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) e. CC )
38	36, 4	negsubdi2d 8653	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) = ( N - K ) )
39	21, 23	resubcld 8708	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. RR )
40	39	recnd 8354	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. CC )
41	4	addlidd 8476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 0 + N ) = N )
42	28, 41	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < ( 0 + N ) )
43		0red 8327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 0 e. RR )
44	21, 23, 43	ltsubaddd 8869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( K - N ) < 0 <-> K < ( 0 + N ) ) )
45	42, 44	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) < 0 )
46	39, 45	lt0ap0d 8977	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) # 0 )
47	40, 46	negap0d 8959	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) # 0 )
48	38, 47	eqbrtrrd 4154	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) # 0 )
49	4, 37, 48	divclapd 9120	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N / ( N - K ) ) e. CC )
50		bcrpcl 11191	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
52	51	rpcnd 10099	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. CC )
53	51	rpap0d 10103	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) # 0 )
54	34, 49, 52, 53	divmulap2d 9154	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
55	14, 54	mpbird 167	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
56	55	oveq2d 6101	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) )
57		bccl2 11206	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. NN )
58	31, 57	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. NN )
59	58	nnap0d 9350	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) # 0 )
60	34, 52, 59, 53	recdivapd 9137	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) )
61	17	nnap0d 9350	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N # 0 )
62	4, 37, 61, 48	recdivapd 9137	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) = ( ( N - K ) / N ) )
63	56, 60, 62	3eqtr3d 2279	1 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   -ucneg 8498   # cap 8909   / cdiv 9002   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   RR+crp 10054   ...cfz 10411   _C cbc 11185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-fac 11164  df-bc 11186

This theorem is used by:  ballotfilem2  13228