Theorem bcm1n 11156

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with N decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1n	|- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

Proof of Theorem bcm1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcp1n 11148	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) )
2		nnz 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	zcnd 9719	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
5		1cnd 8306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 8604	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( N _C K ) )
8	6	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) = ( N - K ) )
9	6, 8	oveq12d 6076	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
10	9	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / ( ( ( N - 1 ) + 1 ) - K ) ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
12	1, 11	imbitrid 154	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
13	12	3impia 1227	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN /\ K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
14	13	3anidm13 1333	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) )
15		elfznn0 10470	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. NN0 )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. NN0 )
17		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
18	17	nnnn0d 9570	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
19		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. ZZ )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ZZ )
21	20	zred 9718	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. RR )
22	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
23	22	zred 9718	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
24		elfzle2 10382	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K <_ ( N - 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ ( N - 1 ) )
26		zltlem1 9652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
27	19, 2, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
28	25, 27	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < N )
29	21, 23, 28	ltled 8408	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K <_ N )
30		elfz2nn0 10468	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1208	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. ( 0 ... N ) )
32		bcrpcl 11140	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
33	31, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
34	33	rpcnd 10049	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. CC )
35	19	zcnd 9719	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> K e. CC )
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K e. CC )
37	4, 36	subcld 8600	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) e. CC )
38	36, 4	negsubdi2d 8616	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) = ( N - K ) )
39	21, 23	resubcld 8671	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. RR )
40	39	recnd 8318	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. CC )
41	4	addlidd 8439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 0 + N ) = N )
42	28, 41	breqtrrd 4142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> K < ( 0 + N ) )
43		0red 8291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> 0 e. RR )
44	21, 23, 43	ltsubaddd 8832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( K - N ) < 0 <-> K < ( 0 + N ) ) )
45	42, 44	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) < 0 )
46	39, 45	lt0ap0d 8940	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( K - N ) # 0 )
47	40, 46	negap0d 8922	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> -u ( K - N ) # 0 )
48	38, 47	eqbrtrrd 4138	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N - K ) # 0 )
49	4, 37, 48	divclapd 9081	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N / ( N - K ) ) e. CC )
50		bcrpcl 11140	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. RR+ )
52	51	rpcnd 10049	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) e. CC )
53	51	rpap0d 10053	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) _C K ) # 0 )
54	34, 49, 52, 53	divmulap2d 9115	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) x. ( N / ( N - K ) ) ) ) )
55	14, 54	mpbird 167	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) = ( N / ( N - K ) ) )
56	55	oveq2d 6074	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) )
57		bccl2 11155	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. NN )
58	31, 57	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) e. NN )
59	58	nnap0d 9300	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N _C K ) # 0 )
60	34, 52, 59, 53	recdivapd 9098	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( ( N _C K ) / ( ( N - 1 ) _C K ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) )
61	17	nnap0d 9300	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> N # 0 )
62	4, 37, 61, 48	recdivapd 9098	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( N / ( N - K ) ) ) = ( ( N - K ) / N ) )
63	56, 60, 62	3eqtr3d 2275	1 |- ( ( K e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) _C K ) / ( N _C K ) ) = ( ( N - K ) / N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   RR+crp 10004   ...cfz 10361   _C cbc 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-fac 11113  df-bc 11135

This theorem is referenced by:  ballotfilem2  13172