ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1oleme Unicode version

Theorem reeff1oleme 13860
Description: Lemma for reeff1o 13861. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
reeff1oleme  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
Distinct variable group:    x, U

Proof of Theorem reeff1oleme
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ere 11662 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
21a1i 9 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  _e  e.  RR )
3 elioore 9899 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  e.  RR )
4 0xr 7994 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
51rexri 8005 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR*
6 elioo2 9908 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  _e  e.  RR* )  ->  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( U  e.  RR  /\  0  < 
U  /\  U  <  _e ) ) )
74, 5, 6mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( U  e.  RR  /\  0  < 
U  /\  U  <  _e ) )
87simp2bi 1013 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  0  <  U )
93, 8gt0ap0d 8576 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U #  0 )
102, 3, 9redivclapd 8781 . . 3  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
_e  /  U )  e.  RR )
113recnd 7976 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  e.  CC )
1211mulid2d 7966 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
1  x.  U )  =  U )
137simp3bi 1014 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  <  _e )
1412, 13eqbrtrd 4022 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
1  x.  U )  <  _e )
15 1red 7963 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  1  e.  RR )
16 ltmuldiv 8820 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( U  e.  RR  /\  0  <  U ) )  -> 
( ( 1  x.  U )  <  _e  <->  1  <  ( _e  /  U ) ) )
1715, 2, 3, 8, 16syl112anc 1242 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
( 1  x.  U
)  <  _e  <->  1  <  ( _e  /  U ) ) )
1814, 17mpbid 147 . . 3  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  1  <  ( _e  /  U
) )
19 reeff1olem 13859 . . 3  |-  ( ( ( _e  /  U
)  e.  RR  /\  1  <  ( _e  /  U ) )  ->  E. y  e.  RR  ( exp `  y )  =  ( _e  /  U ) )
2010, 18, 19syl2anc 411 . 2  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. y  e.  RR  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) )
21 1red 7963 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  1  e.  RR )
22 simprl 529 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  y  e.  RR )
2321, 22resubcld 8328 . . 3  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
24 1cnd 7964 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  1  e.  CC )
2522recnd 7976 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  y  e.  CC )
26 efsub 11673 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  (
1  -  y ) )  =  ( ( exp `  1 )  /  ( exp `  y
) ) )
2724, 25, 26syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  ( ( exp `  1
)  /  ( exp `  y ) ) )
28 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  =  ( _e  /  U ) )
29 df-e 11641 . . . . . . . 8  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3029oveq1i 5879 . . . . . . 7  |-  ( _e 
/  U )  =  ( ( exp `  1
)  /  U )
3128, 30eqtr2di 2227 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( ( exp `  1 )  /  U )  =  ( exp `  y ) )
32 efcl 11656 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( exp `  1 )  e.  CC )
3324, 32syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  1 )  e.  CC )
34 efcl 11656 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
3525, 34syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
3611adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  U  e.  CC )
379adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  U #  0
)
3833, 35, 36, 37divmulap2d 8770 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( (
( exp `  1
)  /  U )  =  ( exp `  y
)  <->  ( exp `  1
)  =  ( U  x.  ( exp `  y
) ) ) )
3931, 38mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  1 )  =  ( U  x.  ( exp `  y ) ) )
4022rpefcld 11678 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  e.  RR+ )
4140rpap0d 9689 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y ) #  0 )
4233, 36, 35, 41divmulap3d 8771 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( (
( exp `  1
)  /  ( exp `  y ) )  =  U  <->  ( exp `  1
)  =  ( U  x.  ( exp `  y
) ) ) )
4339, 42mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( ( exp `  1 )  / 
( exp `  y
) )  =  U )
4427, 43eqtrd 2210 . . 3  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  U )
45 fveqeq2 5520 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1  -  y )  ->  (
( exp `  x
)  =  U  <->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  U ) )
4645rspcev 2841 . . 3  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( exp `  ( 1  -  y ) )  =  U )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x )  =  U )
4723, 44, 46syl2anc 411 . 2  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
4820, 47rexlimddv 2599 1  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803    x. cmul 7807   RR*cxr 7981    < clt 7982    - cmin 8118   # cap 8528    / cdiv 8618   (,)cioo 9875   expce 11634   _eceu 11635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-e 11641  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793
This theorem is referenced by:  reeff1o  13861
  Copyright terms: Public domain W3C validator