Theorem reeff1oleme 13773

Description: Lemma for reeff1o 13774. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1oleme	|- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )

Distinct variable group:   x, U

Proof of Theorem reeff1oleme

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ere 11646	. . . . 5 |- _e e. RR
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> _e e. RR )
3		elioore 9883	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U e. RR )
4		0xr 7978	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
5	1	rexri 7989	. . . . . . 7 |- _e e. RR*
6		elioo2 9892	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ _e e. RR* ) -> ( U e. ( 0 (,) _e ) <-> ( U e. RR /\ 0 < U /\ U < _e ) ) )
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) <-> ( U e. RR /\ 0 < U /\ U < _e ) )
8	7	simp2bi 1013	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> 0 < U )
9	3, 8	gt0ap0d 8560	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U # 0 )
10	2, 3, 9	redivclapd 8765	. . 3 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( _e / U ) e. RR )
11	3	recnd 7960	. . . . . 6 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U e. CC )
12	11	mulid2d 7950	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( 1 x. U ) = U )
13	7	simp3bi 1014	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U < _e )
14	12, 13	eqbrtrd 4020	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( 1 x. U ) < _e )
15		1red 7947	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> 1 e. RR )
16		ltmuldiv 8804	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ _e e. RR /\ ( U e. RR /\ 0 < U ) ) -> ( ( 1 x. U ) < _e <-> 1 < ( _e / U ) ) )
17	15, 2, 3, 8, 16	syl112anc 1242	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( ( 1 x. U ) < _e <-> 1 < ( _e / U ) ) )
18	14, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> 1 < ( _e / U ) )
19		reeff1olem 13772	. . 3 |- ( ( ( _e / U ) e. RR /\ 1 < ( _e / U ) ) -> E. y e. RR ( exp ` y ) = ( _e / U ) )
20	10, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> E. y e. RR ( exp ` y ) = ( _e / U ) )
21		1red 7947	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> 1 e. RR )
22		simprl 529	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> y e. RR )
23	21, 22	resubcld 8312	. . 3 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( 1 - y ) e. RR )
24		1cnd 7948	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> 1 e. CC )
25	22	recnd 7960	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> y e. CC )
26		efsub 11657	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( exp ` ( 1 - y ) ) = ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` ( 1 - y ) ) = ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) )
28		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) = ( _e / U ) )
29		df-e 11625	. . . . . . . 8 |- _e = ( exp ` 1 )
30	29	oveq1i 5875	. . . . . . 7 |- ( _e / U ) = ( ( exp ` 1 ) / U )
31	28, 30	eqtr2di 2225	. . . . . 6 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( exp ` 1 ) / U ) = ( exp ` y ) )
32		efcl 11640	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. CC -> ( exp ` 1 ) e. CC )
33	24, 32	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` 1 ) e. CC )
34		efcl 11640	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC -> ( exp ` y ) e. CC )
35	25, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) e. CC )
36	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> U e. CC )
37	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> U # 0 )
38	33, 35, 36, 37	divmulap2d 8754	. . . . . 6 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( ( exp ` 1 ) / U ) = ( exp ` y ) <-> ( exp ` 1 ) = ( U x. ( exp ` y ) ) ) )
39	31, 38	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` 1 ) = ( U x. ( exp ` y ) ) )
40	22	rpefcld 11662	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) e. RR+ )
41	40	rpap0d 9673	. . . . . 6 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) # 0 )
42	33, 36, 35, 41	divmulap3d 8755	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) = U <-> ( exp ` 1 ) = ( U x. ( exp ` y ) ) ) )
43	39, 42	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) = U )
44	27, 43	eqtrd 2208	. . 3 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` ( 1 - y ) ) = U )
45		fveqeq2 5516	. . . 4 |- ( x = ( 1 - y ) -> ( ( exp ` x ) = U <-> ( exp ` ( 1 - y ) ) = U ) )
46	45	rspcev 2839	. . 3 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( exp ` ( 1 - y ) ) = U ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )
47	23, 44, 46	syl2anc 411	. 2 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )
48	20, 47	rexlimddv 2597	1 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   E.wrex 2454   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   x. cmul 7791   RR*cxr 7965   < clt 7966   - cmin 8102   # cap 8512   / cdiv 8602   (,)cioo 9859   expce 11618   _eceu 11619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-ioo 9863  df-ico 9865  df-icc 9866  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-fac 10674  df-bc 10696  df-ihash 10724  df-shft 10792  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-sumdc 11330  df-ef 11624  df-e 11625  df-rest 12621  df-topgen 12640  df-psmet 13067  df-xmet 13068  df-met 13069  df-bl 13070  df-mopn 13071  df-top 13076  df-topon 13089  df-bases 13121  df-ntr 13176  df-cn 13268  df-cnp 13269  df-tx 13333  df-cncf 13638  df-limced 13705  df-dvap 13706

This theorem is referenced by:  reeff1o  13774