ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1oleme Unicode version

Theorem reeff1oleme 15215
Description: Lemma for reeff1o 15216. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
reeff1oleme  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
Distinct variable group:    x, U

Proof of Theorem reeff1oleme
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ere 11952 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
21a1i 9 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  _e  e.  RR )
3 elioore 10033 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  e.  RR )
4 0xr 8118 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
51rexri 8129 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR*
6 elioo2 10042 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  _e  e.  RR* )  ->  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( U  e.  RR  /\  0  < 
U  /\  U  <  _e ) ) )
74, 5, 6mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( U  e.  RR  /\  0  < 
U  /\  U  <  _e ) )
87simp2bi 1015 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  0  <  U )
93, 8gt0ap0d 8701 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U #  0 )
102, 3, 9redivclapd 8907 . . 3  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
_e  /  U )  e.  RR )
113recnd 8100 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  e.  CC )
1211mulid2d 8090 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
1  x.  U )  =  U )
137simp3bi 1016 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  <  _e )
1412, 13eqbrtrd 4065 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
1  x.  U )  <  _e )
15 1red 8086 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  1  e.  RR )
16 ltmuldiv 8946 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( U  e.  RR  /\  0  <  U ) )  -> 
( ( 1  x.  U )  <  _e  <->  1  <  ( _e  /  U ) ) )
1715, 2, 3, 8, 16syl112anc 1253 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
( 1  x.  U
)  <  _e  <->  1  <  ( _e  /  U ) ) )
1814, 17mpbid 147 . . 3  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  1  <  ( _e  /  U
) )
19 reeff1olem 15214 . . 3  |-  ( ( ( _e  /  U
)  e.  RR  /\  1  <  ( _e  /  U ) )  ->  E. y  e.  RR  ( exp `  y )  =  ( _e  /  U ) )
2010, 18, 19syl2anc 411 . 2  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. y  e.  RR  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) )
21 1red 8086 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  1  e.  RR )
22 simprl 529 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  y  e.  RR )
2321, 22resubcld 8452 . . 3  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
24 1cnd 8087 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  1  e.  CC )
2522recnd 8100 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  y  e.  CC )
26 efsub 11963 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  (
1  -  y ) )  =  ( ( exp `  1 )  /  ( exp `  y
) ) )
2724, 25, 26syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  ( ( exp `  1
)  /  ( exp `  y ) ) )
28 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  =  ( _e  /  U ) )
29 df-e 11931 . . . . . . . 8  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3029oveq1i 5953 . . . . . . 7  |-  ( _e 
/  U )  =  ( ( exp `  1
)  /  U )
3128, 30eqtr2di 2254 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( ( exp `  1 )  /  U )  =  ( exp `  y ) )
32 efcl 11946 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( exp `  1 )  e.  CC )
3324, 32syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  1 )  e.  CC )
34 efcl 11946 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
3525, 34syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
3611adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  U  e.  CC )
379adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  U #  0
)
3833, 35, 36, 37divmulap2d 8896 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( (
( exp `  1
)  /  U )  =  ( exp `  y
)  <->  ( exp `  1
)  =  ( U  x.  ( exp `  y
) ) ) )
3931, 38mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  1 )  =  ( U  x.  ( exp `  y ) ) )
4022rpefcld 11968 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  e.  RR+ )
4140rpap0d 9823 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y ) #  0 )
4233, 36, 35, 41divmulap3d 8897 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( (
( exp `  1
)  /  ( exp `  y ) )  =  U  <->  ( exp `  1
)  =  ( U  x.  ( exp `  y
) ) ) )
4339, 42mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( ( exp `  1 )  / 
( exp `  y
) )  =  U )
4427, 43eqtrd 2237 . . 3  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  U )
45 fveqeq2 5584 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1  -  y )  ->  (
( exp `  x
)  =  U  <->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  U ) )
4645rspcev 2876 . . 3  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( exp `  ( 1  -  y ) )  =  U )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x )  =  U )
4723, 44, 46syl2anc 411 . 2  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
4820, 47rexlimddv 2627 1  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1372    e. wcel 2175   E.wrex 2484   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925    x. cmul 7929   RR*cxr 8105    < clt 8106    - cmin 8242   # cap 8653    / cdiv 8744   (,)cioo 10009   expce 11924   _eceu 11925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11097  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-clim 11561  df-sumdc 11636  df-ef 11930  df-e 11931  df-rest 13044  df-topgen 13063  df-psmet 14276  df-xmet 14277  df-met 14278  df-bl 14279  df-mopn 14280  df-top 14441  df-topon 14454  df-bases 14486  df-ntr 14539  df-cn 14631  df-cnp 14632  df-tx 14696  df-cncf 15014  df-limced 15099  df-dvap 15100
This theorem is referenced by:  reeff1o  15216
  Copyright terms: Public domain W3C validator