Theorem reeff1oleme 14907

Description: Lemma for reeff1o 14908. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1oleme	|- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )

Distinct variable group:   x, U

Proof of Theorem reeff1oleme

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ere 11813	. . . . 5 |- _e e. RR
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> _e e. RR )
3		elioore 9978	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U e. RR )
4		0xr 8066	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
5	1	rexri 8077	. . . . . . 7 |- _e e. RR*
6		elioo2 9987	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ _e e. RR* ) -> ( U e. ( 0 (,) _e ) <-> ( U e. RR /\ 0 < U /\ U < _e ) ) )
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) <-> ( U e. RR /\ 0 < U /\ U < _e ) )
8	7	simp2bi 1015	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> 0 < U )
9	3, 8	gt0ap0d 8648	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U # 0 )
10	2, 3, 9	redivclapd 8854	. . 3 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( _e / U ) e. RR )
11	3	recnd 8048	. . . . . 6 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U e. CC )
12	11	mulid2d 8038	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( 1 x. U ) = U )
13	7	simp3bi 1016	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> U < _e )
14	12, 13	eqbrtrd 4051	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( 1 x. U ) < _e )
15		1red 8034	. . . . 5 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> 1 e. RR )
16		ltmuldiv 8893	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ _e e. RR /\ ( U e. RR /\ 0 < U ) ) -> ( ( 1 x. U ) < _e <-> 1 < ( _e / U ) ) )
17	15, 2, 3, 8, 16	syl112anc 1253	. . . 4 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> ( ( 1 x. U ) < _e <-> 1 < ( _e / U ) ) )
18	14, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> 1 < ( _e / U ) )
19		reeff1olem 14906	. . 3 |- ( ( ( _e / U ) e. RR /\ 1 < ( _e / U ) ) -> E. y e. RR ( exp ` y ) = ( _e / U ) )
20	10, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> E. y e. RR ( exp ` y ) = ( _e / U ) )
21		1red 8034	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> 1 e. RR )
22		simprl 529	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> y e. RR )
23	21, 22	resubcld 8400	. . 3 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( 1 - y ) e. RR )
24		1cnd 8035	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> 1 e. CC )
25	22	recnd 8048	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> y e. CC )
26		efsub 11824	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( exp ` ( 1 - y ) ) = ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` ( 1 - y ) ) = ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) )
28		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) = ( _e / U ) )
29		df-e 11792	. . . . . . . 8 |- _e = ( exp ` 1 )
30	29	oveq1i 5928	. . . . . . 7 |- ( _e / U ) = ( ( exp ` 1 ) / U )
31	28, 30	eqtr2di 2243	. . . . . 6 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( exp ` 1 ) / U ) = ( exp ` y ) )
32		efcl 11807	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. CC -> ( exp ` 1 ) e. CC )
33	24, 32	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` 1 ) e. CC )
34		efcl 11807	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC -> ( exp ` y ) e. CC )
35	25, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) e. CC )
36	11	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> U e. CC )
37	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> U # 0 )
38	33, 35, 36, 37	divmulap2d 8843	. . . . . 6 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( ( exp ` 1 ) / U ) = ( exp ` y ) <-> ( exp ` 1 ) = ( U x. ( exp ` y ) ) ) )
39	31, 38	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` 1 ) = ( U x. ( exp ` y ) ) )
40	22	rpefcld 11829	. . . . . . 7 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) e. RR+ )
41	40	rpap0d 9768	. . . . . 6 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` y ) # 0 )
42	33, 36, 35, 41	divmulap3d 8844	. . . . 5 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) = U <-> ( exp ` 1 ) = ( U x. ( exp ` y ) ) ) )
43	39, 42	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( ( exp ` 1 ) / ( exp ` y ) ) = U )
44	27, 43	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> ( exp ` ( 1 - y ) ) = U )
45		fveqeq2 5563	. . . 4 |- ( x = ( 1 - y ) -> ( ( exp ` x ) = U <-> ( exp ` ( 1 - y ) ) = U ) )
46	45	rspcev 2864	. . 3 |- ( ( ( 1 - y ) e. RR /\ ( exp ` ( 1 - y ) ) = U ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )
47	23, 44, 46	syl2anc 411	. 2 |- ( ( U e. ( 0 (,) _e ) /\ ( y e. RR /\ ( exp ` y ) = ( _e / U ) ) ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )
48	20, 47	rexlimddv 2616	1 |- ( U e. ( 0 (,) _e ) -> E. x e. RR ( exp ` x ) = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   RR*cxr 8053   < clt 8054   - cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691   (,)cioo 9954   expce 11785   _eceu 11786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-e 11792  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  reeff1o  14908