ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1oleme Unicode version

Theorem reeff1oleme 13773
Description: Lemma for reeff1o 13774. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
reeff1oleme  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
Distinct variable group:    x, U

Proof of Theorem reeff1oleme
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ere 11646 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
21a1i 9 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  _e  e.  RR )
3 elioore 9883 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  e.  RR )
4 0xr 7978 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
51rexri 7989 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR*
6 elioo2 9892 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  _e  e.  RR* )  ->  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( U  e.  RR  /\  0  < 
U  /\  U  <  _e ) ) )
74, 5, 6mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  <->  ( U  e.  RR  /\  0  < 
U  /\  U  <  _e ) )
87simp2bi 1013 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  0  <  U )
93, 8gt0ap0d 8560 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U #  0 )
102, 3, 9redivclapd 8765 . . 3  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
_e  /  U )  e.  RR )
113recnd 7960 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  e.  CC )
1211mulid2d 7950 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
1  x.  U )  =  U )
137simp3bi 1014 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  U  <  _e )
1412, 13eqbrtrd 4020 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
1  x.  U )  <  _e )
15 1red 7947 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  1  e.  RR )
16 ltmuldiv 8804 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( U  e.  RR  /\  0  <  U ) )  -> 
( ( 1  x.  U )  <  _e  <->  1  <  ( _e  /  U ) ) )
1715, 2, 3, 8, 16syl112anc 1242 . . . 4  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  (
( 1  x.  U
)  <  _e  <->  1  <  ( _e  /  U ) ) )
1814, 17mpbid 147 . . 3  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  1  <  ( _e  /  U
) )
19 reeff1olem 13772 . . 3  |-  ( ( ( _e  /  U
)  e.  RR  /\  1  <  ( _e  /  U ) )  ->  E. y  e.  RR  ( exp `  y )  =  ( _e  /  U ) )
2010, 18, 19syl2anc 411 . 2  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. y  e.  RR  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) )
21 1red 7947 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  1  e.  RR )
22 simprl 529 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  y  e.  RR )
2321, 22resubcld 8312 . . 3  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
24 1cnd 7948 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  1  e.  CC )
2522recnd 7960 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  y  e.  CC )
26 efsub 11657 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  (
1  -  y ) )  =  ( ( exp `  1 )  /  ( exp `  y
) ) )
2724, 25, 26syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  ( ( exp `  1
)  /  ( exp `  y ) ) )
28 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  =  ( _e  /  U ) )
29 df-e 11625 . . . . . . . 8  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3029oveq1i 5875 . . . . . . 7  |-  ( _e 
/  U )  =  ( ( exp `  1
)  /  U )
3128, 30eqtr2di 2225 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( ( exp `  1 )  /  U )  =  ( exp `  y ) )
32 efcl 11640 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( exp `  1 )  e.  CC )
3324, 32syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  1 )  e.  CC )
34 efcl 11640 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
3525, 34syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
3611adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  U  e.  CC )
379adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  U #  0
)
3833, 35, 36, 37divmulap2d 8754 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( (
( exp `  1
)  /  U )  =  ( exp `  y
)  <->  ( exp `  1
)  =  ( U  x.  ( exp `  y
) ) ) )
3931, 38mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  1 )  =  ( U  x.  ( exp `  y ) ) )
4022rpefcld 11662 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y )  e.  RR+ )
4140rpap0d 9673 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  y ) #  0 )
4233, 36, 35, 41divmulap3d 8755 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( (
( exp `  1
)  /  ( exp `  y ) )  =  U  <->  ( exp `  1
)  =  ( U  x.  ( exp `  y
) ) ) )
4339, 42mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( ( exp `  1 )  / 
( exp `  y
) )  =  U )
4427, 43eqtrd 2208 . . 3  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  U )
45 fveqeq2 5516 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1  -  y )  ->  (
( exp `  x
)  =  U  <->  ( exp `  ( 1  -  y
) )  =  U ) )
4645rspcev 2839 . . 3  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( exp `  ( 1  -  y ) )  =  U )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x )  =  U )
4723, 44, 46syl2anc 411 . 2  |-  ( ( U  e.  ( 0 (,) _e )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( exp `  y
)  =  ( _e 
/  U ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
4820, 47rexlimddv 2597 1  |-  ( U  e.  ( 0 (,) _e )  ->  E. x  e.  RR  ( exp `  x
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   E.wrex 2454   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787    x. cmul 7791   RR*cxr 7965    < clt 7966    - cmin 8102   # cap 8512    / cdiv 8602   (,)cioo 9859   expce 11618   _eceu 11619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-ioo 9863  df-ico 9865  df-icc 9866  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-fac 10674  df-bc 10696  df-ihash 10724  df-shft 10792  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-sumdc 11330  df-ef 11624  df-e 11625  df-rest 12621  df-topgen 12640  df-psmet 13067  df-xmet 13068  df-met 13069  df-bl 13070  df-mopn 13071  df-top 13076  df-topon 13089  df-bases 13121  df-ntr 13176  df-cn 13268  df-cnp 13269  df-tx 13333  df-cncf 13638  df-limced 13705  df-dvap 13706
This theorem is referenced by:  reeff1o  13774
  Copyright terms: Public domain W3C validator