Theorem divmuldivapi 9111

Description: Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	|- A e. CC
divclz.2	|- B e. CC
divmulz.3	|- C e. CC
divmuldivap.4	|- D e. CC
divmuldivap.5	|- B # 0
divmuldivap.6	|- D # 0

Assertion

Ref	Expression
divmuldivapi	|- ( ( A / B ) x. ( C / D ) ) = ( ( A x. C ) / ( B x. D ) )

Proof of Theorem divmuldivapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclz.1	. 2 |- A e. CC
2		divmulz.3	. 2 |- C e. CC
3		divclz.2	. . 3 |- B e. CC
4		divmuldivap.5	. . 3 |- B # 0
5	3, 4	pm3.2i 272	. 2 |- ( B e. CC /\ B # 0 )
6		divmuldivap.4	. . 3 |- D e. CC
7		divmuldivap.6	. . 3 |- D # 0
8	6, 7	pm3.2i 272	. 2 |- ( D e. CC /\ D # 0 )
9		divmuldivap 9051	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ C e. CC ) /\ ( ( B e. CC /\ B # 0 ) /\ ( D e. CC /\ D # 0 ) ) ) -> ( ( A / B ) x. ( C / D ) ) = ( ( A x. C ) / ( B x. D ) ) )
10	1, 2, 5, 8, 9	mp4an 431	1 |- ( ( A / B ) x. ( C / D ) ) = ( ( A x. C ) / ( B x. D ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8184   0cc0 8186   x. cmul 8191   # cap 8918   / cdiv 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012

This theorem is used by:  8th4div3  9536  halfpm6th  9537  sqdivapi  11082  efival  12525  ef01bndlem  12549  sincos4thpi  16079  sincos6thpi  16081  bposlem8  16330  bposlem9  16331