ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divmuldivapi Unicode version

Theorem divmuldivapi 8544
Description: Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1  |-  A  e.  CC
divclz.2  |-  B  e.  CC
divmulz.3  |-  C  e.  CC
divmuldivap.4  |-  D  e.  CC
divmuldivap.5  |-  B #  0
divmuldivap.6  |-  D #  0
Assertion
Ref Expression
divmuldivapi  |-  ( ( A  /  B )  x.  ( C  /  D ) )  =  ( ( A  x.  C )  /  ( B  x.  D )
)

Proof of Theorem divmuldivapi
StepHypRef Expression
1 divclz.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 divmulz.3 . 2  |-  C  e.  CC
3 divclz.2 . . 3  |-  B  e.  CC
4 divmuldivap.5 . . 3  |-  B #  0
53, 4pm3.2i 270 . 2  |-  ( B  e.  CC  /\  B #  0 )
6 divmuldivap.4 . . 3  |-  D  e.  CC
7 divmuldivap.6 . . 3  |-  D #  0
86, 7pm3.2i 270 . 2  |-  ( D  e.  CC  /\  D #  0 )
9 divmuldivap 8484 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  /\  ( D  e.  CC  /\  D #  0 ) ) )  ->  ( ( A  /  B )  x.  ( C  /  D
) )  =  ( ( A  x.  C
)  /  ( B  x.  D ) ) )
101, 2, 5, 8, 9mp4an 423 1  |-  ( ( A  /  B )  x.  ( C  /  D ) )  =  ( ( A  x.  C )  /  ( B  x.  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632    x. cmul 7637   # cap 8355    / cdiv 8444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445
This theorem is referenced by:  8th4div3  8951  halfpm6th  8952  sqdivapi  10388  efival  11450  ef01bndlem  11474  sincos4thpi  12943  sincos6thpi  12945
  Copyright terms: Public domain W3C validator