Theorem 8th4div3 9140

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	|- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7906	. . . 4 |- 1 e. CC
2		8re 9006	. . . . 5 |- 8 e. RR
3	2	recni 7971	. . . 4 |- 8 e. CC
4		4cn 8999	. . . 4 |- 4 e. CC
5		3cn 8996	. . . 4 |- 3 e. CC
6		8pos 9024	. . . . 5 |- 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8587	. . . 4 |- 8 # 0
8		3re 8995	. . . . 5 |- 3 e. RR
9		3pos 9015	. . . . 5 |- 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8587	. . . 4 |- 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8731	. . 3 |- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( ( 1 x. 4 ) / ( 8 x. 3 ) )
12	1, 4	mulcomi 7965	. . . 4 |- ( 1 x. 4 ) = ( 4 x. 1 )
13		2cn 8992	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
14	4, 13, 5	mul32i 8106	. . . . . . 7 |- ( ( 4 x. 2 ) x. 3 ) = ( ( 4 x. 3 ) x. 2 )
15		4t2e8 9079	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. 2 ) = 8
16	15	oveq1i 5887	. . . . . . 7 |- ( ( 4 x. 2 ) x. 3 ) = ( 8 x. 3 )
17	14, 16	eqtr3i 2200	. . . . . 6 |- ( ( 4 x. 3 ) x. 2 ) = ( 8 x. 3 )
18	4, 5, 13	mulassi 7968	. . . . . 6 |- ( ( 4 x. 3 ) x. 2 ) = ( 4 x. ( 3 x. 2 ) )
19	17, 18	eqtr3i 2200	. . . . 5 |- ( 8 x. 3 ) = ( 4 x. ( 3 x. 2 ) )
20		3t2e6 9077	. . . . . 6 |- ( 3 x. 2 ) = 6
21	20	oveq2i 5888	. . . . 5 |- ( 4 x. ( 3 x. 2 ) ) = ( 4 x. 6 )
22	19, 21	eqtri 2198	. . . 4 |- ( 8 x. 3 ) = ( 4 x. 6 )
23	12, 22	oveq12i 5889	. . 3 |- ( ( 1 x. 4 ) / ( 8 x. 3 ) ) = ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) )
24	11, 23	eqtri 2198	. 2 |- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) )
25		6re 9002	. . . 4 |- 6 e. RR
26	25	recni 7971	. . 3 |- 6 e. CC
27		6pos 9022	. . . 4 |- 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8587	. . 3 |- 6 # 0
29		4re 8998	. . . 4 |- 4 e. RR
30		4pos 9018	. . . 4 |- 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8587	. . 3 |- 4 # 0
32		divcanap5 8673	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 6 e. CC /\ 6 # 0 ) /\ ( 4 e. CC /\ 4 # 0 ) ) -> ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) ) = ( 1 / 6 ) )
33	1, 32	mp3an1 1324	. . 3 |- ( ( ( 6 e. CC /\ 6 # 0 ) /\ ( 4 e. CC /\ 4 # 0 ) ) -> ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) ) = ( 1 / 6 ) )
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 |- ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) ) = ( 1 / 6 )
35	24, 34	eqtri 2198	1 |- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   x. cmul 7818   # cap 8540   / cdiv 8631   2c2 8972   3c3 8973   4c4 8974   6c6 8976   8c8 8978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986

This theorem is referenced by: (None)