Theorem 8th4div3 9210

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	|- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7972	. . . 4 |- 1 e. CC
2		8re 9075	. . . . 5 |- 8 e. RR
3	2	recni 8038	. . . 4 |- 8 e. CC
4		4cn 9068	. . . 4 |- 4 e. CC
5		3cn 9065	. . . 4 |- 3 e. CC
6		8pos 9093	. . . . 5 |- 0 < 8
7	2, 6	gt0ap0ii 8655	. . . 4 |- 8 # 0
8		3re 9064	. . . . 5 |- 3 e. RR
9		3pos 9084	. . . . 5 |- 0 < 3
10	8, 9	gt0ap0ii 8655	. . . 4 |- 3 # 0
11	1, 3, 4, 5, 7, 10	divmuldivapi 8799	. . 3 |- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( ( 1 x. 4 ) / ( 8 x. 3 ) )
12	1, 4	mulcomi 8032	. . . 4 |- ( 1 x. 4 ) = ( 4 x. 1 )
13		2cn 9061	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
14	4, 13, 5	mul32i 8173	. . . . . . 7 |- ( ( 4 x. 2 ) x. 3 ) = ( ( 4 x. 3 ) x. 2 )
15		4t2e8 9149	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. 2 ) = 8
16	15	oveq1i 5932	. . . . . . 7 |- ( ( 4 x. 2 ) x. 3 ) = ( 8 x. 3 )
17	14, 16	eqtr3i 2219	. . . . . 6 |- ( ( 4 x. 3 ) x. 2 ) = ( 8 x. 3 )
18	4, 5, 13	mulassi 8035	. . . . . 6 |- ( ( 4 x. 3 ) x. 2 ) = ( 4 x. ( 3 x. 2 ) )
19	17, 18	eqtr3i 2219	. . . . 5 |- ( 8 x. 3 ) = ( 4 x. ( 3 x. 2 ) )
20		3t2e6 9147	. . . . . 6 |- ( 3 x. 2 ) = 6
21	20	oveq2i 5933	. . . . 5 |- ( 4 x. ( 3 x. 2 ) ) = ( 4 x. 6 )
22	19, 21	eqtri 2217	. . . 4 |- ( 8 x. 3 ) = ( 4 x. 6 )
23	12, 22	oveq12i 5934	. . 3 |- ( ( 1 x. 4 ) / ( 8 x. 3 ) ) = ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) )
24	11, 23	eqtri 2217	. 2 |- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) )
25		6re 9071	. . . 4 |- 6 e. RR
26	25	recni 8038	. . 3 |- 6 e. CC
27		6pos 9091	. . . 4 |- 0 < 6
28	25, 27	gt0ap0ii 8655	. . 3 |- 6 # 0
29		4re 9067	. . . 4 |- 4 e. RR
30		4pos 9087	. . . 4 |- 0 < 4
31	29, 30	gt0ap0ii 8655	. . 3 |- 4 # 0
32		divcanap5 8741	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 6 e. CC /\ 6 # 0 ) /\ ( 4 e. CC /\ 4 # 0 ) ) -> ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) ) = ( 1 / 6 ) )
33	1, 32	mp3an1 1335	. . 3 |- ( ( ( 6 e. CC /\ 6 # 0 ) /\ ( 4 e. CC /\ 4 # 0 ) ) -> ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) ) = ( 1 / 6 ) )
34	26, 28, 4, 31, 33	mp4an 427	. 2 |- ( ( 4 x. 1 ) / ( 4 x. 6 ) ) = ( 1 / 6 )
35	24, 34	eqtri 2217	1 |- ( ( 1 / 8 ) x. ( 4 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   # cap 8608   / cdiv 8699   2c2 9041   3c3 9042   4c4 9043   6c6 9045   8c8 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055

This theorem is referenced by: (None)