ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Unicode version

Theorem 8th4div3 8568
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7382 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 8re 8442 . . . . 5  |-  8  e.  RR
32recni 7444 . . . 4  |-  8  e.  CC
4 4cn 8435 . . . 4  |-  4  e.  CC
5 3cn 8432 . . . 4  |-  3  e.  CC
6 8pos 8460 . . . . 5  |-  0  <  8
72, 6gt0ap0ii 8045 . . . 4  |-  8 #  0
8 3re 8431 . . . . 5  |-  3  e.  RR
9 3pos 8451 . . . . 5  |-  0  <  3
108, 9gt0ap0ii 8045 . . . 4  |-  3 #  0
111, 3, 4, 5, 7, 10divmuldivapi 8178 . . 3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 1  x.  4 )  /  (
8  x.  3 ) )
121, 4mulcomi 7438 . . . 4  |-  ( 1  x.  4 )  =  ( 4  x.  1 )
13 2cn 8428 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
144, 13, 5mul32i 7573 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )
15 4t2e8 8508 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1615oveq1i 5623 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  3 )
1714, 16eqtr3i 2107 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  3 )
184, 5, 13mulassi 7441 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
1917, 18eqtr3i 2107 . . . . 5  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
20 3t2e6 8506 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2120oveq2i 5624 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 4  x.  6 )
2219, 21eqtri 2105 . . . 4  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  6 )
2312, 22oveq12i 5625 . . 3  |-  ( ( 1  x.  4 )  /  ( 8  x.  3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
2411, 23eqtri 2105 . 2  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
25 6re 8438 . . . 4  |-  6  e.  RR
2625recni 7444 . . 3  |-  6  e.  CC
27 6pos 8458 . . . 4  |-  0  <  6
2825, 27gt0ap0ii 8045 . . 3  |-  6 #  0
29 4re 8434 . . . 4  |-  4  e.  RR
30 4pos 8454 . . . 4  |-  0  <  4
3129, 30gt0ap0ii 8045 . . 3  |-  4 #  0
32 divcanap5 8120 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6 #  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4 #  0 ) )  ->  ( ( 4  x.  1 )  / 
( 4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
331, 32mp3an1 1258 . . 3  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6 #  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4 #  0 ) )  ->  ( ( 4  x.  1 )  / 
( 4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
3426, 28, 4, 31, 33mp4an 418 . 2  |-  ( ( 4  x.  1 )  /  ( 4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6
)
3524, 34eqtri 2105 1  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613   CCcc 7292   0cc0 7294   1c1 7295    x. cmul 7299   # cap 7999    / cdiv 8078   2c2 8407   3c3 8408   4c4 8409   6c6 8411   8c8 8413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-5 8419  df-6 8420  df-7 8421  df-8 8422
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator