Theorem divmuldivapi 8852

Description: Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmuldivap.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ
divmuldivap.5	⊢ 𝐵 # 0
divmuldivap.6	⊢ 𝐷 # 0

Assertion

Ref	Expression
divmuldivapi	⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem divmuldivapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclz.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		divmulz.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
3		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4		divmuldivap.5	. . 3 ⊢ 𝐵 # 0
5	3, 4	pm3.2i 272	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)
6		divmuldivap.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		divmuldivap.6	. . 3 ⊢ 𝐷 # 0
8	6, 7	pm3.2i 272	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)
9		divmuldivap 8792	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
10	1, 2, 5, 8, 9	mp4an 427	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932   · cmul 7937   # cap 8661   / cdiv 8752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753

This theorem is referenced by:  8th4div3  9263  halfpm6th  9264  sqdivapi  10775  efival  12087  ef01bndlem  12111  sincos4thpi  15356  sincos6thpi  15358