Theorem sqdivapi 10586

Description: Distribution of square over division. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqval.1	|- A e. CC
sqmul.2	|- B e. CC
sqdivap.3	|- B # 0

Assertion

Ref	Expression
sqdivapi	|- ( ( A / B ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) )

Proof of Theorem sqdivapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqval.1	. . 3 |- A e. CC
2		sqmul.2	. . 3 |- B e. CC
3		sqdivap.3	. . 3 |- B # 0
4	1, 2, 1, 2, 3, 3	divmuldivapi 8715	. 2 |- ( ( A / B ) x. ( A / B ) ) = ( ( A x. A ) / ( B x. B ) )
5	1, 2, 3	divclapi 8697	. . 3 |- ( A / B ) e. CC
6	5	sqvali 10582	. 2 |- ( ( A / B ) ^ 2 ) = ( ( A / B ) x. ( A / B ) )
7	1	sqvali 10582	. . 3 |- ( A ^ 2 ) = ( A x. A )
8	2	sqvali 10582	. . 3 |- ( B ^ 2 ) = ( B x. B )
9	7, 8	oveq12i 5881	. 2 |- ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) ) = ( ( A x. A ) / ( B x. B ) )
10	4, 6, 9	3eqtr4i 2208	1 |- ( ( A / B ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( B ^ 2 ) )

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7797   0cc0 7799   x. cmul 7804   # cap 8525   / cdiv 8615   2c2 8956   ^cexp 10502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-seqfrec 10429  df-exp 10503

This theorem is referenced by:  cos2bnd  11749  sincos6thpi  13923