Theorem drngprop 14477

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	|- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
drngprop.p	|- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
drngprop.m	|- ( .r ` K ) = ( .r ` L )

Assertion

Ref	Expression
drngprop	|- ( K e. DivRing <-> L e. DivRing )

Proof of Theorem drngprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngprop.b	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
2		drngprop.p	. . . . . 6 |- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
3		drngprop.m	. . . . . 6 |- ( .r ` K ) = ( .r ` L )
4	1, 2, 3	aprprop 14461	. . . . 5 |- ( K e. Ring -> (#r ` K ) = (#r ` L ) )
5		tapeq1 7571	. . . . 5 |- ( (#r ` K ) = (#r ` L ) -> ( (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) <-> (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( K e. Ring -> ( (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) <-> (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
7	6	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( K e. Ring /\ (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( K e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
8	1, 2, 3	ringprop 14205	. . . 4 |- ( K e. Ring <-> L e. Ring )
9	8	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( K e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( L e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
10	7, 9	bitri 184	. 2 |- ( ( K e. Ring /\ (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( L e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
11		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12		eqid 2234	. . 3 |- (#r ` K ) = (#r ` K )
13	11, 12	isdrngtap 14466	. 2 |- ( K e. DivRing <-> ( K e. Ring /\ (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) )
14		eqid 2234	. . 3 |- (#r ` L ) = (#r ` L )
15	1, 14	isdrngtap 14466	. 2 |- ( L e. DivRing <-> ( L e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
16	10, 13, 15	3bitr4i 212	1 |- ( K e. DivRing <-> L e. DivRing )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354   TAp wtap 7567   Basecbs 13233   +g cplusg 13311   .rcmulr 13312   Ringcrg 14161  #_rcapr 14449   DivRingcdr 14462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-tpos 6478  df-pap 7561  df-tap 7568  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-cmn 14024  df-abl 14025  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-srg 14129  df-ring 14163  df-oppr 14233  df-dvdsr 14255  df-unit 14256  df-apr 14450  df-drngap 14464

This theorem is referenced by: (None)