Theorem drngprop 14727

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	|- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
drngprop.p	|- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
drngprop.m	|- ( .r ` K ) = ( .r ` L )

Assertion

Ref	Expression
drngprop	|- ( K e. DivRing <-> L e. DivRing )

Proof of Theorem drngprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngprop.b	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
2		drngprop.p	. . . . . 6 |- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
3		drngprop.m	. . . . . 6 |- ( .r ` K ) = ( .r ` L )
4	1, 2, 3	aprprop 14711	. . . . 5 |- ( K e. Ring -> ( #r ` K ) = ( #r ` L ) )
5		tapeq1 7625	. . . . 5 |- ( ( #r ` K ) = ( #r ` L ) -> ( ( #r ` K ) TAp ( Base ` K ) <-> ( #r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( K e. Ring -> ( ( #r ` K ) TAp ( Base ` K ) <-> ( #r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
7	6	pm5.32i 458	. . 3 |- ( ( K e. Ring /\ ( #r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( K e. Ring /\ ( #r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
8	1, 2, 3	ringprop 14453	. . . 4 |- ( K e. Ring <-> L e. Ring )
9	8	anbi1i 462	. . 3 |- ( ( K e. Ring /\ ( #r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( L e. Ring /\ ( #r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
10	7, 9	bitri 184	. 2 |- ( ( K e. Ring /\ ( #r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( L e. Ring /\ ( #r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
11		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12		eqid 2238	. . 3 |- ( #r ` K ) = ( #r ` K )
13	11, 12	isdrngtap 14716	. 2 |- ( K e. DivRing <-> ( K e. Ring /\ ( #r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) )
14		eqid 2238	. . 3 |- ( #r ` L ) = ( #r ` L )
15	1, 14	isdrngtap 14716	. 2 |- ( L e. DivRing <-> ( L e. Ring /\ ( #r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
16	10, 13, 15	3bitr4i 212	1 |- ( K e. DivRing <-> L e. DivRing )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380   TAp wtap 7621   Basecbs 13411   +g cplusg 13491   .rcmulr 13492   Ringcrg 14408   #_r capr 14699   DivRingcdr 14712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-pap 7615  df-tap 7622  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-oppr 14483  df-dvdsr 14505  df-unit 14506  df-apr 14700  df-drngap 14714

This theorem is used by: (None)