Theorem drngprop 14558

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	|- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
drngprop.p	|- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
drngprop.m	|- ( .r ` K ) = ( .r ` L )

Assertion

Ref	Expression
drngprop	|- ( K e. DivRing <-> L e. DivRing )

Proof of Theorem drngprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngprop.b	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` L )
2		drngprop.p	. . . . . 6 |- ( +g ` K ) = ( +g ` L )
3		drngprop.m	. . . . . 6 |- ( .r ` K ) = ( .r ` L )
4	1, 2, 3	aprprop 14542	. . . . 5 |- ( K e. Ring -> (#r ` K ) = (#r ` L ) )
5		tapeq1 7582	. . . . 5 |- ( (#r ` K ) = (#r ` L ) -> ( (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) <-> (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( K e. Ring -> ( (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) <-> (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
7	6	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( K e. Ring /\ (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( K e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
8	1, 2, 3	ringprop 14286	. . . 4 |- ( K e. Ring <-> L e. Ring )
9	8	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( K e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( L e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
10	7, 9	bitri 184	. 2 |- ( ( K e. Ring /\ (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) <-> ( L e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
11		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12		eqid 2234	. . 3 |- (#r ` K ) = (#r ` K )
13	11, 12	isdrngtap 14547	. 2 |- ( K e. DivRing <-> ( K e. Ring /\ (#r ` K ) TAp ( Base ` K ) ) )
14		eqid 2234	. . 3 |- (#r ` L ) = (#r ` L )
15	1, 14	isdrngtap 14547	. 2 |- ( L e. DivRing <-> ( L e. Ring /\ (#r ` L ) TAp ( Base ` K ) ) )
16	10, 13, 15	3bitr4i 212	1 |- ( K e. DivRing <-> L e. DivRing )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357   TAp wtap 7578   Basecbs 13299   +g cplusg 13377   .rcmulr 13378   Ringcrg 14242  #_rcapr 14530   DivRingcdr 14543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-pap 7572  df-tap 7579  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-cmn 14042  df-abl 14043  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-srg 14210  df-ring 14244  df-oppr 14314  df-dvdsr 14336  df-unit 14337  df-apr 14531  df-drngap 14545

This theorem is referenced by: (None)