Theorem drngprop 14701

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
drngprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
drngprop	⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngprop.b	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
2		drngprop.p	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
3		drngprop.m	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
4	1, 2, 3	aprprop 14685	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (#r‘𝐾) = (#r‘𝐿))
5		tapeq1 7619	. . . . 5 ⊢ ((#r‘𝐾) = (#r‘𝐿) → ((#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾) ↔ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾) ↔ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
7	6	pm5.32i 458	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
8	1, 2, 3	ringprop 14429	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
9	8	anbi1i 462	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
10	7, 9	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
11		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12		eqid 2238	. . 3 ⊢ (#r‘𝐾) = (#r‘𝐾)
13	11, 12	isdrngtap 14690	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)))
14		eqid 2238	. . 3 ⊢ (#r‘𝐿) = (#r‘𝐿)
15	1, 14	isdrngtap 14690	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
16	10, 13, 15	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377   TAp wtap 7615  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  ._rcmulr 13485  Ringcrg 14384  #_rcapr 14673  DivRingcdr 14686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pap 7609  df-tap 7616  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-sbg 13863  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-srg 14352  df-ring 14386  df-oppr 14457  df-dvdsr 14479  df-unit 14480  df-apr 14674  df-drngap 14688

This theorem is used by: (None)