Theorem drngprop 14477

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
drngprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
drngprop	⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngprop.b	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
2		drngprop.p	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
3		drngprop.m	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
4	1, 2, 3	aprprop 14461	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (#r‘𝐾) = (#r‘𝐿))
5		tapeq1 7571	. . . . 5 ⊢ ((#r‘𝐾) = (#r‘𝐿) → ((#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾) ↔ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾) ↔ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
7	6	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
8	1, 2, 3	ringprop 14205	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
9	8	anbi1i 458	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
10	7, 9	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
11		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12		eqid 2234	. . 3 ⊢ (#r‘𝐾) = (#r‘𝐾)
13	11, 12	isdrngtap 14466	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)))
14		eqid 2234	. . 3 ⊢ (#r‘𝐿) = (#r‘𝐿)
15	1, 14	isdrngtap 14466	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (#r‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
16	10, 13, 15	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354   TAp wtap 7567  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  ._rcmulr 13312  Ringcrg 14161  #_rcapr 14449  DivRingcdr 14462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-tpos 6478  df-pap 7561  df-tap 7568  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-cmn 14024  df-abl 14025  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-srg 14129  df-ring 14163  df-oppr 14233  df-dvdsr 14255  df-unit 14256  df-apr 14450  df-drngap 14464

This theorem is referenced by: (None)