Theorem drngprop 14727

Description: If two structures have the same ring components (properties), one is a division ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
drngprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
drngprop.m	⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
drngprop	⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

Proof of Theorem drngprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngprop.b	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
2		drngprop.p	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
3		drngprop.m	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐿)
4	1, 2, 3	aprprop 14711	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ( #r ‘𝐾) = ( #r ‘𝐿))
5		tapeq1 7625	. . . . 5 ⊢ (( #r ‘𝐾) = ( #r ‘𝐿) → (( #r ‘𝐾) TAp (Base‘𝐾) ↔ ( #r ‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (( #r ‘𝐾) TAp (Base‘𝐾) ↔ ( #r ‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
7	6	pm5.32i 458	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
8	1, 2, 3	ringprop 14453	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring)
9	8	anbi1i 462	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
10	7, 9	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
11		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12		eqid 2238	. . 3 ⊢ ( #r ‘𝐾) = ( #r ‘𝐾)
13	11, 12	isdrngtap 14716	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐾) TAp (Base‘𝐾)))
14		eqid 2238	. . 3 ⊢ ( #r ‘𝐿) = ( #r ‘𝐿)
15	1, 14	isdrngtap 14716	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ ( #r ‘𝐿) TAp (Base‘𝐾)))
16	10, 13, 15	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ 𝐿 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380   TAp wtap 7621  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  ._rcmulr 13492  Ringcrg 14408   #_r capr 14699  DivRingcdr 14712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-pap 7615  df-tap 7622  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-oppr 14483  df-dvdsr 14505  df-unit 14506  df-apr 14700  df-drngap 14714

This theorem is used by: (None)