Theorem bezoutr 12553

Description: Partial converse to bezout 12532. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutr	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Proof of Theorem bezoutr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 12487	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9567	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
4		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
5		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> X e. ZZ )
6	4, 5	zmulcld 9575	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A x. X ) e. ZZ )
7		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8		simprr 531	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> Y e. ZZ )
9	7, 8	zmulcld 9575	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( B x. Y ) e. ZZ )
10		gcddvds 12484	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
12	11	simpld 112	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || A )
13		dvdsmultr1 12342	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) ) )
14	13	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || A ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
15	3, 4, 5, 12, 14	syl31anc 1274	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
16	11	simprd 114	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || B )
17		dvdsmultr1 12342	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) )
18	17	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || B ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
19	3, 7, 8, 16, 18	syl31anc 1274	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
20		dvds2add 12336	. . 3 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) -> ( ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) ) )
21	20	imp 124	. 2 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) /\ ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )
22	3, 6, 9, 15, 19, 21	syl32anc 1279	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   + caddc 8002   x. cmul 8004   ZZcz 9446   || cdvds 12298   gcd cgcd 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-sup 7151  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-dvds 12299  df-gcd 12475

This theorem is referenced by:  bezoutr1  12554