Theorem bezoutr 11709

Description: Partial converse to bezout 11688. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutr	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Proof of Theorem bezoutr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 11644	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9164	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
3	2	adantr 274	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
4		simpll 518	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
5		simprl 520	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> X e. ZZ )
6	4, 5	zmulcld 9172	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A x. X ) e. ZZ )
7		simplr 519	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8		simprr 521	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> Y e. ZZ )
9	7, 8	zmulcld 9172	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( B x. Y ) e. ZZ )
10		gcddvds 11641	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
12	11	simpld 111	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || A )
13		dvdsmultr1 11520	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) ) )
14	13	imp 123	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || A ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
15	3, 4, 5, 12, 14	syl31anc 1219	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
16	11	simprd 113	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || B )
17		dvdsmultr1 11520	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) )
18	17	imp 123	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || B ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
19	3, 7, 8, 16, 18	syl31anc 1219	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
20		dvds2add 11516	. . 3 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) -> ( ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) ) )
21	20	imp 123	. 2 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) /\ ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )
22	3, 6, 9, 15, 19, 21	syl32anc 1224	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   + caddc 7616   x. cmul 7618   ZZcz 9047   || cdvds 11482   gcd cgcd 11624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483  df-gcd 11625

This theorem is referenced by:  bezoutr1  11710