Theorem bezoutr 12210

Description: Partial converse to bezout 12189. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutr	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Proof of Theorem bezoutr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 12144	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9449	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
4		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
5		simprl 529	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> X e. ZZ )
6	4, 5	zmulcld 9457	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A x. X ) e. ZZ )
7		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8		simprr 531	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> Y e. ZZ )
9	7, 8	zmulcld 9457	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( B x. Y ) e. ZZ )
10		gcddvds 12141	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
12	11	simpld 112	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || A )
13		dvdsmultr1 11999	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) ) )
14	13	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || A ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
15	3, 4, 5, 12, 14	syl31anc 1252	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
16	11	simprd 114	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || B )
17		dvdsmultr1 11999	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) )
18	17	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || B ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
19	3, 7, 8, 16, 18	syl31anc 1252	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
20		dvds2add 11993	. . 3 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) -> ( ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) ) )
21	20	imp 124	. 2 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) /\ ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )
22	3, 6, 9, 15, 19, 21	syl32anc 1257	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   + caddc 7885   x. cmul 7887   ZZcz 9329   || cdvds 11955   gcd cgcd 12131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-sup 7052  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-fz 10087  df-fzo 10221  df-fl 10363  df-mod 10418  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-dvds 11956  df-gcd 12132

This theorem is referenced by:  bezoutr1  12211