Theorem bezoutr 11513

Description: Partial converse to bezout 11492. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutr	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Proof of Theorem bezoutr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 11450	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 9023	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
3	2	adantr 272	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
4		simpll 499	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
5		simprl 501	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> X e. ZZ )
6	4, 5	zmulcld 9031	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A x. X ) e. ZZ )
7		simplr 500	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8		simprr 502	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> Y e. ZZ )
9	7, 8	zmulcld 9031	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( B x. Y ) e. ZZ )
10		gcddvds 11447	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
11	10	adantr 272	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
12	11	simpld 111	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || A )
13		dvdsmultr1 11326	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) ) )
14	13	imp 123	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || A ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
15	3, 4, 5, 12, 14	syl31anc 1187	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
16	11	simprd 113	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || B )
17		dvdsmultr1 11326	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) )
18	17	imp 123	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || B ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
19	3, 7, 8, 16, 18	syl31anc 1187	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
20		dvds2add 11322	. . 3 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) -> ( ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) ) )
21	20	imp 123	. 2 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) /\ ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )
22	3, 6, 9, 15, 19, 21	syl32anc 1192	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 930   e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   + caddc 7503   x. cmul 7505   ZZcz 8906   || cdvds 11288   gcd cgcd 11430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289  df-gcd 11431

This theorem is referenced by:  bezoutr1  11514