Theorem bezoutr 10801

Description: Partial converse to bezout 10780. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutr	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Proof of Theorem bezoutr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 10738	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. NN0 )
2	1	nn0zd 8762	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
3	2	adantr 270	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
4		simpll 496	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
5		simprl 498	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> X e. ZZ )
6	4, 5	zmulcld 8770	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A x. X ) e. ZZ )
7		simplr 497	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
8		simprr 499	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> Y e. ZZ )
9	7, 8	zmulcld 8770	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( B x. Y ) e. ZZ )
10		gcddvds 10735	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
11	10	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
12	11	simpld 110	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || A )
13		dvdsmultr1 10614	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) ) )
14	13	imp 122	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ X e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || A ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
15	3, 4, 5, 12, 14	syl31anc 1173	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( A x. X ) )
16	11	simprd 112	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || B )
17		dvdsmultr1 10614	. . . 4 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) )
18	17	imp 122	. . 3 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ ( A gcd B ) || B ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
19	3, 7, 8, 16, 18	syl31anc 1173	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( B x. Y ) )
20		dvds2add 10610	. . 3 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) -> ( ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) ) )
21	20	imp 122	. 2 |- ( ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A x. X ) e. ZZ /\ ( B x. Y ) e. ZZ ) /\ ( ( A gcd B ) || ( A x. X ) /\ ( A gcd B ) || ( B x. Y ) ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )
22	3, 6, 9, 15, 19, 21	syl32anc 1178	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. X ) + ( B x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 920   e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   + caddc 7256   x. cmul 7258   ZZcz 8646   || cdvds 10576   gcd cgcd 10718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719

This theorem is referenced by:  bezoutr1  10802