ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutr Unicode version

Theorem bezoutr 10801
Description: Partial converse to bezout 10780. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezoutr  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( ( A  x.  X )  +  ( B  x.  Y ) ) )

Proof of Theorem bezoutr
StepHypRef Expression
1 gcdcl 10738 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
21nn0zd 8762 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
32adantr 270 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
4 simpll 496 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
5 simprl 498 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  ZZ )
64, 5zmulcld 8770 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  X
)  e.  ZZ )
7 simplr 497 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
8 simprr 499 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  ->  Y  e.  ZZ )
97, 8zmulcld 8770 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  Y
)  e.  ZZ )
10 gcddvds 10735 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
1110adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
1211simpld 110 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  A )
13 dvdsmultr1 10614 . . . 4  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  ->  ( A  gcd  B ) 
||  ( A  x.  X ) ) )
1413imp 122 . . 3  |-  ( ( ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  /\  ( A  gcd  B )  ||  A )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( A  x.  X
) )
153, 4, 5, 12, 14syl31anc 1173 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( A  x.  X ) )
1611simprd 112 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  B )
17 dvdsmultr1 10614 . . . 4  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  ->  ( A  gcd  B ) 
||  ( B  x.  Y ) ) )
1817imp 122 . . 3  |-  ( ( ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  ( A  gcd  B )  ||  B )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( B  x.  Y
) )
193, 7, 8, 16, 18syl31anc 1173 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( B  x.  Y ) )
20 dvds2add 10610 . . 3  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  x.  X
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  Y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  gcd  B ) 
||  ( A  x.  X )  /\  ( A  gcd  B )  ||  ( B  x.  Y
) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( A  x.  X )  +  ( B  x.  Y ) ) ) )
2120imp 122 . 2  |-  ( ( ( ( A  gcd  B )  e.  ZZ  /\  ( A  x.  X
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  Y
)  e.  ZZ )  /\  ( ( A  gcd  B )  ||  ( A  x.  X
)  /\  ( A  gcd  B )  ||  ( B  x.  Y )
) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( ( A  x.  X )  +  ( B  x.  Y ) ) )
223, 6, 9, 15, 19, 21syl32anc 1178 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )  -> 
( A  gcd  B
)  ||  ( ( A  x.  X )  +  ( B  x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591    + caddc 7256    x. cmul 7258   ZZcz 8646    || cdvds 10576    gcd cgcd 10718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719
This theorem is referenced by:  bezoutr1  10802
  Copyright terms: Public domain W3C validator