Theorem dvdsfac 12484

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	|- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( x = K -> ( ! ` x ) = ( ! ` K ) )
2	1	breq2d 4105	. . . 4 |- ( x = K -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` K ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = K -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) ) )
4		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ! ` x ) = ( ! ` y ) )
5	4	breq2d 4105	. . . 4 |- ( x = y -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` y ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) ) )
7		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( y + 1 ) ) )
8	7	breq2d 4105	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
10		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
11	10	breq2d 4105	. . . 4 |- ( x = N -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` N ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) ) )
13		nnm1nn0 9485	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	15	nnzd 9645	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ )
17		nnz 9542	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
18		dvdsmul2 12438	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
20		facnn2 11042	. . . . 5 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
21	19, 20	breqtrrd 4121	. . . 4 |- ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) )
23	17	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> K e. ZZ )
24		elnnuz 9837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		uztrn 9817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	24, 25	sylan2b 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
27		elnnuz 9837	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN <-> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN )
29	28	nnnn0d 9499	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN0 )
30		faccl 11043	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` y ) e. NN )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. NN )
32	31	nnzd 9645	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. ZZ )
33	28	nnzd 9645	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ZZ )
34	33	peano2zd 9649	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( y + 1 ) e. ZZ )
35		dvdsmultr1 12455	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( ! ` y ) e. ZZ /\ ( y + 1 ) e. ZZ ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
36	23, 32, 34, 35	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
37		facp1 11038	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
38	29, 37	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
39	38	breq2d 4105	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` ( y + 1 ) ) <-> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
40	36, 39	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
41	40	ex 115	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
42	41	a2d 26	. . 3 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
43	3, 6, 9, 12, 22, 42	uzind4 9866	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) )
44	43	impcom 125	1 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   - cmin 8392   NNcn 9185   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   !cfa 11033   || cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-fac 11034  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  prmunb  12998