Theorem dvdsfac 12142

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	|- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5575	. . . . 5 |- ( x = K -> ( ! ` x ) = ( ! ` K ) )
2	1	breq2d 4055	. . . 4 |- ( x = K -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` K ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = K -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) ) )
4		fveq2 5575	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ! ` x ) = ( ! ` y ) )
5	4	breq2d 4055	. . . 4 |- ( x = y -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` y ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) ) )
7		fveq2 5575	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( y + 1 ) ) )
8	7	breq2d 4055	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
10		fveq2 5575	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
11	10	breq2d 4055	. . . 4 |- ( x = N -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` N ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) ) )
13		nnm1nn0 9335	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 10878	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	15	nnzd 9493	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ )
17		nnz 9390	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
18		dvdsmul2 12096	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
20		facnn2 10877	. . . . 5 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
21	19, 20	breqtrrd 4071	. . . 4 |- ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) )
23	17	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> K e. ZZ )
24		elnnuz 9684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		uztrn 9664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	24, 25	sylan2b 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
27		elnnuz 9684	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN <-> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN )
29	28	nnnn0d 9347	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN0 )
30		faccl 10878	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` y ) e. NN )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. NN )
32	31	nnzd 9493	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. ZZ )
33	28	nnzd 9493	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ZZ )
34	33	peano2zd 9497	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( y + 1 ) e. ZZ )
35		dvdsmultr1 12113	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( ! ` y ) e. ZZ /\ ( y + 1 ) e. ZZ ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
36	23, 32, 34, 35	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
37		facp1 10873	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
38	29, 37	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
39	38	breq2d 4055	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` ( y + 1 ) ) <-> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
40	36, 39	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
41	40	ex 115	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
42	41	a2d 26	. . 3 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
43	3, 6, 9, 12, 22, 42	uzind4 9708	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) )
44	43	impcom 125	1 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   - cmin 8242   NNcn 9035   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   !cfa 10868   || cdvds 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-seqfrec 10591  df-fac 10869  df-dvds 12070

This theorem is referenced by:  prmunb  12656