Theorem dvdsfac 11868

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	|- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5517	. . . . 5 |- ( x = K -> ( ! ` x ) = ( ! ` K ) )
2	1	breq2d 4017	. . . 4 |- ( x = K -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` K ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = K -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) ) )
4		fveq2 5517	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ! ` x ) = ( ! ` y ) )
5	4	breq2d 4017	. . . 4 |- ( x = y -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` y ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) ) )
7		fveq2 5517	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( y + 1 ) ) )
8	7	breq2d 4017	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
10		fveq2 5517	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
11	10	breq2d 4017	. . . 4 |- ( x = N -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` N ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) ) )
13		nnm1nn0 9219	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 10717	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	15	nnzd 9376	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ )
17		nnz 9274	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
18		dvdsmul2 11823	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
20		facnn2 10716	. . . . 5 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
21	19, 20	breqtrrd 4033	. . . 4 |- ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) )
23	17	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> K e. ZZ )
24		elnnuz 9566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		uztrn 9546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	24, 25	sylan2b 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
27		elnnuz 9566	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN <-> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN )
29	28	nnnn0d 9231	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN0 )
30		faccl 10717	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` y ) e. NN )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. NN )
32	31	nnzd 9376	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. ZZ )
33	28	nnzd 9376	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ZZ )
34	33	peano2zd 9380	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( y + 1 ) e. ZZ )
35		dvdsmultr1 11840	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( ! ` y ) e. ZZ /\ ( y + 1 ) e. ZZ ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
36	23, 32, 34, 35	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
37		facp1 10712	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
38	29, 37	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
39	38	breq2d 4017	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` ( y + 1 ) ) <-> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
40	36, 39	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
41	40	ex 115	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
42	41	a2d 26	. . 3 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
43	3, 6, 9, 12, 22, 42	uzind4 9590	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) )
44	43	impcom 125	1 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   - cmin 8130   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   !cfa 10707   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-fac 10708  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  prmunb  12362