Theorem dvdsfac 12025

Description: A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsfac	|- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Proof of Theorem dvdsfac

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( x = K -> ( ! ` x ) = ( ! ` K ) )
2	1	breq2d 4045	. . . 4 |- ( x = K -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` K ) ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = K -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) ) )
4		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ! ` x ) = ( ! ` y ) )
5	4	breq2d 4045	. . . 4 |- ( x = y -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` y ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) ) )
7		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( y + 1 ) ) )
8	7	breq2d 4045	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
10		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
11	10	breq2d 4045	. . . 4 |- ( x = N -> ( K || ( ! ` x ) <-> K || ( ! ` N ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` x ) ) <-> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) ) )
13		nnm1nn0 9290	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
14		faccl 10827	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
16	15	nnzd 9447	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ )
17		nnz 9345	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
18		dvdsmul2 11979	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( K - 1 ) ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K || ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
20		facnn2 10826	. . . . 5 |- ( K e. NN -> ( ! ` K ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
21	19, 20	breqtrrd 4061	. . . 4 |- ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( K e. NN -> K || ( ! ` K ) ) )
23	17	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> K e. ZZ )
24		elnnuz 9638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		uztrn 9618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	24, 25	sylan2b 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
27		elnnuz 9638	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN <-> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN )
29	28	nnnn0d 9302	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. NN0 )
30		faccl 10827	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` y ) e. NN )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. NN )
32	31	nnzd 9447	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` y ) e. ZZ )
33	28	nnzd 9447	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> y e. ZZ )
34	33	peano2zd 9451	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( y + 1 ) e. ZZ )
35		dvdsmultr1 11996	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( ! ` y ) e. ZZ /\ ( y + 1 ) e. ZZ ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
36	23, 32, 34, 35	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
37		facp1 10822	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN0 -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
38	29, 37	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( ! ` ( y + 1 ) ) = ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) )
39	38	breq2d 4045	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` ( y + 1 ) ) <-> K || ( ( ! ` y ) x. ( y + 1 ) ) ) )
40	36, 39	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. NN ) -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) )
41	40	ex 115	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> ( K || ( ! ` y ) -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
42	41	a2d 26	. . 3 |- ( y e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( K e. NN -> K || ( ! ` y ) ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` ( y + 1 ) ) ) ) )
43	3, 6, 9, 12, 22, 42	uzind4 9662	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K e. NN -> K || ( ! ` N ) ) )
44	43	impcom 125	1 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K || ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   - cmin 8197   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   !cfa 10817   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-fac 10818  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  prmunb  12531