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Theorem bezoutlembi 12041
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 12040 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembi  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y, z    B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi
StepHypRef Expression
1 bezoutlembz 12040 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
3 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
43ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
6 dvdsmultr1 11873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  A  ->  z 
||  ( A  x.  x ) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  A  ->  z  ||  ( A  x.  x )
) )
8 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  B  e.  ZZ )
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
10 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
11 dvdsmultr1 11873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  B  ->  z 
||  ( B  x.  y ) ) )
122, 9, 10, 11syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  B  ->  z  ||  ( B  x.  y )
) )
134, 5zmulcld 9412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
149, 10zmulcld 9412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( B  x.  y )  e.  ZZ )
15 dvds2add 11867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( A  x.  x
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( A  x.  x )  /\  z  ||  ( B  x.  y
) )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
162, 13, 14, 15syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  ( A  x.  x )  /\  z  ||  ( B  x.  y
) )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
177, 12, 16syl2and 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
18 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
1918breq2d 4030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  d 
<->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2017, 19sylibrd 169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  d ) )
21 bi3 119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ||  d  -> 
( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( (
( z  ||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  d
)  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
2220, 21syl5com 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2322ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) ) )
2423rexlimdvva 2615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) ) )
25 imdistan 444 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )  <-> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) ) )
26 ancom 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
27 ancom 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2826, 27imbi12i 239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )  <-> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) ) )
2925, 28bitr4i 187 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )  <-> 
( ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3024, 29sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3130ralimdva 2557 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
32 0z 9295 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
33 elex2 2768 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  E. z 
z  e.  ZZ )
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  E. z 
z  e.  ZZ
35 r19.27mv 3534 . . . . 5  |-  ( E. z  z  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
37 r19.27mv 3534 . . . . 5  |-  ( E. z  z  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3834, 37ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3931, 36, 383imtr3g 204 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
4039reximdva 2592 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
411, 40mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   0cc0 7842    + caddc 7845    x. cmul 7847   NN0cn0 9207   ZZcz 9284    || cdvds 11829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12043  dfgcd3  12046  bezout  12047
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