Theorem bezoutlembi 12041

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 12040 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembi	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y, z   B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlembz 12040	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> z e. ZZ )
3		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> A e. ZZ )
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A e. ZZ )
5		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> x e. ZZ )
6		dvdsmultr1 11873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
8		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> B e. ZZ )
9	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> B e. ZZ )
10		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> y e. ZZ )
11		dvdsmultr1 11873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
13	4, 5	zmulcld 9412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A x. x ) e. ZZ )
14	9, 10	zmulcld 9412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
15		dvds2add 11867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ ( A x. x ) e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
17	7, 12, 16	syl2and 295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
19	18	breq2d 4030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || d <-> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
20	17, 19	sylibrd 169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) )
21		bi3 119	. . . . . . . . 9 |- ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
22	20, 21	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
23	22	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
24	23	rexlimdvva 2615	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
25		imdistan 444	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
26		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
27		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
28	26, 27	imbi12i 239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
29	25, 28	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	24, 29	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	ralimdva 2557	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
32		0z 9295	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
33		elex2 2768	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> E. z z e. ZZ )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 |- E. z z e. ZZ
35		r19.27mv 3534	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
37		r19.27mv 3534	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	34, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39	31, 36, 38	3imtr3g 204	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
40	39	reximdva 2592	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
41	1, 40	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   0cc0 7842   + caddc 7845   x. cmul 7847   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   || cdvds 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12043  dfgcd3  12046  bezout  12047