Theorem bezoutlembi 11087

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 11086 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembi	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y, z   B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlembz 11086	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		simpllr 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> z e. ZZ )
3		simpll 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> A e. ZZ )
4	3	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A e. ZZ )
5		simplrl 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> x e. ZZ )
6		dvdsmultr1 10927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
8		simplr 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> B e. ZZ )
9	8	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> B e. ZZ )
10		simplrr 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> y e. ZZ )
11		dvdsmultr1 10927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
13	4, 5	zmulcld 8844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A x. x ) e. ZZ )
14	9, 10	zmulcld 8844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
15		dvds2add 10923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ ( A x. x ) e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
17	7, 12, 16	syl2and 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
18		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
19	18	breq2d 3849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || d <-> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
20	17, 19	sylibrd 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) )
21		bi3 117	. . . . . . . . 9 |- ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
22	20, 21	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
23	22	ex 113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
24	23	rexlimdvva 2496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
25		imdistan 433	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
26		ancom 262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
27		ancom 262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
28	26, 27	imbi12i 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
29	25, 28	bitr4i 185	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	24, 29	sylib 120	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	ralimdva 2441	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
32		0z 8731	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
33		elex2 2635	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> E. z z e. ZZ )
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- E. z z e. ZZ
35		r19.27mv 3374	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
36	34, 35	ax-mp 7	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
37		r19.27mv 3374	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	34, 37	ax-mp 7	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39	31, 36, 38	3imtr3g 202	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
40	39	reximdva 2475	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
41	1, 40	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   0cc0 7329   + caddc 7332   x. cmul 7334   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   || cdvds 10889

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10890

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11089  dfgcd3  11092  bezout  11093