Theorem bezoutlembi 12726

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 12725 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembi	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y, z   B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlembz 12725	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> z e. ZZ )
3		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> A e. ZZ )
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A e. ZZ )
5		simplrl 537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> x e. ZZ )
6		dvdsmultr1 12542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
8		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> B e. ZZ )
9	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> B e. ZZ )
10		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> y e. ZZ )
11		dvdsmultr1 12542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
13	4, 5	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A x. x ) e. ZZ )
14	9, 10	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
15		dvds2add 12536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ ( A x. x ) e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
17	7, 12, 16	syl2and 295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
19	18	breq2d 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || d <-> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
20	17, 19	sylibrd 169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) )
21		bi3 119	. . . . . . . . 9 |- ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
22	20, 21	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
23	22	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
24	23	rexlimdvva 2670	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
25		imdistan 444	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
26		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
27		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
28	26, 27	imbi12i 239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
29	25, 28	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	24, 29	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	ralimdva 2611	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
32		0z 9605	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
33		elex2 2832	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> E. z z e. ZZ )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 |- E. z z e. ZZ
35		r19.27mv 3610	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
37		r19.27mv 3610	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	34, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39	31, 36, 38	3imtr3g 204	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
40	39	reximdva 2646	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
41	1, 40	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   0cc0 8143   + caddc 8146   x. cmul 8148   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12728  dfgcd3  12731  bezout  12732