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Theorem bezoutlembi 12000
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 11999 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembi  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d, x, y, z    B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi
StepHypRef Expression
1 bezoutlembz 11999 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
3 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
43ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
6 dvdsmultr1 11833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  A  ->  z 
||  ( A  x.  x ) ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  A  ->  z  ||  ( A  x.  x )
) )
8 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  B  e.  ZZ )
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
10 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
11 dvdsmultr1 11833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
z  ||  B  ->  z 
||  ( B  x.  y ) ) )
122, 9, 10, 11syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  B  ->  z  ||  ( B  x.  y )
) )
134, 5zmulcld 9379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  ZZ )
149, 10zmulcld 9379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( B  x.  y )  e.  ZZ )
15 dvds2add 11827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( A  x.  x
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( z 
||  ( A  x.  x )  /\  z  ||  ( B  x.  y
) )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
162, 13, 14, 15syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  ( A  x.  x )  /\  z  ||  ( B  x.  y
) )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
177, 12, 16syl2and 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
18 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
1918breq2d 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( z  ||  d 
<->  z  ||  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
2017, 19sylibrd 169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  d ) )
21 bi3 119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  ||  d  -> 
( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( (
( z  ||  A  /\  z  ||  B )  ->  z  ||  d
)  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
2220, 21syl5com 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2322ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) ) )
2423rexlimdvva 2602 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) ) )
25 imdistan 444 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )  <-> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) ) )
26 ancom 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )
27 ancom 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
2826, 27imbi12i 239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) )  <-> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  /\  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) ) )
2925, 28bitr4i 187 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  ->  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  ->  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) ) ) )  <-> 
( ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3024, 29sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3130ralimdva 2544 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
32 0z 9262 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
33 elex2 2753 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  E. z 
z  e.  ZZ )
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5  |-  E. z 
z  e.  ZZ
35 r19.27mv 3519 . . . . 5  |-  ( E. z  z  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  ->  (
z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
37 r19.27mv 3519 . . . . 5  |-  ( E. z  z  e.  ZZ  ->  ( A. z  e.  ZZ  ( ( z 
||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
3834, 37ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
3931, 36, 383imtr3g 204 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) ) ) )
4039reximdva 2579 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  ->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B
) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
411, 40mpd 13 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  E. d  e.  NN0  ( A. z  e.  ZZ  ( z  ||  d  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  d  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   0cc0 7810    + caddc 7813    x. cmul 7815   NN0cn0 9174   ZZcz 9251    || cdvds 11789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12002  dfgcd3  12005  bezout  12006
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