Theorem bezoutlembi 12172

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 12171 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembi	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, d, x, y, z   B, d, x, y, z

Proof of Theorem bezoutlembi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlembz 12171	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
2		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> z e. ZZ )
3		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> A e. ZZ )
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A e. ZZ )
5		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> x e. ZZ )
6		dvdsmultr1 11996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ A e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || A -> z || ( A x. x ) ) )
8		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> B e. ZZ )
9	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> B e. ZZ )
10		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> y e. ZZ )
11		dvdsmultr1 11996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ B e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || B -> z || ( B x. y ) ) )
13	4, 5	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A x. x ) e. ZZ )
14	9, 10	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
15		dvds2add 11990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ ( A x. x ) e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || ( A x. x ) /\ z || ( B x. y ) ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
17	7, 12, 16	syl2and 295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
19	18	breq2d 4045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( z || d <-> z || ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
20	17, 19	sylibrd 169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) )
21		bi3 119	. . . . . . . . 9 |- ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( ( ( z || A /\ z || B ) -> z || d ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
22	20, 21	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
23	22	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
24	23	rexlimdvva 2622	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
25		imdistan 444	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
26		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
27		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
28	26, 27	imbi12i 239	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) <-> ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) /\ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) )
29	25, 28	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) -> ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) -> ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) ) <-> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
30	24, 29	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
31	30	ralimdva 2564	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
32		0z 9337	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
33		elex2 2779	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> E. z z e. ZZ )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 |- E. z z e. ZZ
35		r19.27mv 3547	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
37		r19.27mv 3547	. . . . 5 |- ( E. z z e. ZZ -> ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
38	34, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )
39	31, 36, 38	3imtr3g 204	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
40	39	reximdva 2599	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d -> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) ) )
41	1, 40	mpd 13	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> E. d e. NN0 ( A. z e. ZZ ( z || d <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ d = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   0cc0 7879   + caddc 7882   x. cmul 7884   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12174  dfgcd3  12177  bezout  12178