Theorem dvdsrmuld 14113

Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvdsr2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmuld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmuld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		dvdsrmuld.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4		oveq1 6025	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
5	4	eqeq1d 2240	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
6	5	rspcev 2910	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
7	2, 3, 6	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8		dvdsrvald.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9		dvdsrvald.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
10		dvdsrvald.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11		dvdsrvald.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12	8, 9, 10, 11	dvdsrd 14111	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 952	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  ._rcmulr 13163  SRingcsrg 13979  ∥_rcdsr 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-mgp 13937  df-srg 13980  df-dvdsr 14105

This theorem is referenced by:  dvdsrid  14117  dvdsrtr  14118  dvdsrmul1  14119  dvdsrneg  14120  unitmulclb  14131  unitgrp  14133  subrguss  14253  subrgunit  14256