Theorem dvdsrmuld 13270

Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvdsr2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmuld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmuld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		dvdsrmuld.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		eqid 2177	. . 3 ⊢ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4		oveq1 5884	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
5	4	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
6	5	rspcev 2843	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
7	2, 3, 6	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8		dvdsrvald.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9		dvdsrvald.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
10		dvdsrvald.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11		dvdsrvald.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12	8, 9, 10, 11	dvdsrd 13268	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 944	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  ._rcmulr 12539  SRingcsrg 13151  ∥_rcdsr 13260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-srg 13152  df-dvdsr 13263

This theorem is referenced by:  dvdsrid  13274  dvdsrtr  13275  dvdsrmul1  13276  dvdsrneg  13277  unitmulclb  13288  unitgrp  13290  subrguss  13362  subrgunit  13365