Theorem dvdsrmuld 14263

Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvdsrvald.2	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
dvdsrvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
dvdsrvald.3	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvdsr2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrmuld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmuld	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmuld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr2d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		dvdsrmuld.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		eqid 2234	. . 3 ⊢ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4		oveq1 6059	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
5	4	eqeq1d 2243	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
6	5	rspcev 2923	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
7	2, 3, 6	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8		dvdsrvald.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9		dvdsrvald.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
10		dvdsrvald.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11		dvdsrvald.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12	8, 9, 10, 11	dvdsrd 14261	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))))
13	1, 7, 12	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  ._rcmulr 13312  SRingcsrg 14128  ∥_rcdsr 14252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-mgp 14086  df-srg 14129  df-dvdsr 14255

This theorem is referenced by:  dvdsrid  14267  dvdsrtr  14268  dvdsrmul1  14269  dvdsrneg  14270  unitmulclb  14281  unitgrp  14283  subrguss  14404  subrgunit  14407