Theorem dvdsrtr 13863

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	|- B = ( Base ` R )
dvdsr.2	|- .|| = ( ||r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	|- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` R ) )
3		dvdsr.2	. . . . . . 7 |- .|| = ( ||r ` R )
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> .|| = ( ||r ` R ) )
5		ringsrg 13809	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6		eqidd 2206	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
7	2, 4, 5, 6	dvdsrd 13856	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y .|| Z <-> ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) ) )
8	2, 4, 5, 6	dvdsrd 13856	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Z .|| X <-> ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
9	7, 8	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) ) )
10		an4 586	. . . 4 |- ( ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
11	9, 10	bitrdi 196	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) ) )
12		reeanv 2676	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) <-> ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) )
13	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> B = ( Base ` R ) )
14	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
15	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> R e. SRing )
16		eqidd 2206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
17		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y e. B )
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> R e. Ring )
19		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B )
20		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> y e. B )
21		eqid 2205	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
22	1, 21	ringcl 13775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
24	13, 14, 15, 16, 17, 23	dvdsrmuld 13858	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) )
25	1, 21	ringass 13778	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
26	18, 19, 20, 17, 25	syl13anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
27	24, 26	breqtrd 4070	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
28		oveq2 5952	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = ( x ( .r ` R ) Z ) )
29		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ( .r ` R ) Z ) = X -> ( x ( .r ` R ) Z ) = X )
30	28, 29	sylan9eq 2258	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = X )
31	30	breq2d 4056	. . . . . . 7 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) <-> Y .|| X ) )
32	27, 31	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
33	32	rexlimdvva 2631	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
34	12, 33	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
35	34	expimpd 363	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) -> Y .|| X ) )
36	11, 35	sylbid 150	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X ) )
37	36	3impib 1204	1 |- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   .rcmulr 12910  SRingcsrg 13725   Ringcrg 13758   ||_rcdsr 13848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-cmn 13622  df-abl 13623  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-srg 13726  df-ring 13760  df-dvdsr 13851

This theorem is referenced by:  dvdsunit  13874  unitmulcl  13875  unitnegcl  13892