Theorem dvdsrtr 13657

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	|- B = ( Base ` R )
dvdsr.2	|- .|| = ( ||r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	|- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` R ) )
3		dvdsr.2	. . . . . . 7 |- .|| = ( ||r ` R )
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> .|| = ( ||r ` R ) )
5		ringsrg 13603	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6		eqidd 2197	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
7	2, 4, 5, 6	dvdsrd 13650	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y .|| Z <-> ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) ) )
8	2, 4, 5, 6	dvdsrd 13650	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Z .|| X <-> ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
9	7, 8	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) ) )
10		an4 586	. . . 4 |- ( ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
11	9, 10	bitrdi 196	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) ) )
12		reeanv 2667	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) <-> ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) )
13	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> B = ( Base ` R ) )
14	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
15	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> R e. SRing )
16		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
17		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y e. B )
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> R e. Ring )
19		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B )
20		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> y e. B )
21		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
22	1, 21	ringcl 13569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
24	13, 14, 15, 16, 17, 23	dvdsrmuld 13652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) )
25	1, 21	ringass 13572	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
26	18, 19, 20, 17, 25	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
27	24, 26	breqtrd 4059	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
28		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = ( x ( .r ` R ) Z ) )
29		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ( .r ` R ) Z ) = X -> ( x ( .r ` R ) Z ) = X )
30	28, 29	sylan9eq 2249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = X )
31	30	breq2d 4045	. . . . . . 7 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) <-> Y .|| X ) )
32	27, 31	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
33	32	rexlimdvva 2622	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
34	12, 33	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
35	34	expimpd 363	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) -> Y .|| X ) )
36	11, 35	sylbid 150	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X ) )
37	36	3impib 1203	1 |- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   .rcmulr 12756  SRingcsrg 13519   Ringcrg 13552   ||_rcdsr 13642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-dvdsr 13645

This theorem is referenced by:  dvdsunit  13668  unitmulcl  13669  unitnegcl  13686