Theorem dvdsrtr 13733

Description: Divisibility is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	|- B = ( Base ` R )
dvdsr.2	|- .|| = ( ||r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrtr	|- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Proof of Theorem dvdsrtr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` R ) )
3		dvdsr.2	. . . . . . 7 |- .|| = ( ||r ` R )
4	3	a1i 9	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> .|| = ( ||r ` R ) )
5		ringsrg 13679	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6		eqidd 2197	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
7	2, 4, 5, 6	dvdsrd 13726	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Y .|| Z <-> ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) ) )
8	2, 4, 5, 6	dvdsrd 13726	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( Z .|| X <-> ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
9	7, 8	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) ) )
10		an4 586	. . . 4 |- ( ( ( Y e. B /\ E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z ) /\ ( Z e. B /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) )
11	9, 10	bitrdi 196	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) ) )
12		reeanv 2667	. . . . 5 |- ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) <-> ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) )
13	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> B = ( Base ` R ) )
14	3	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
15	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> R e. SRing )
16		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
17		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y e. B )
18		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> R e. Ring )
19		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> x e. B )
20		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> y e. B )
21		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
22	1, 21	ringcl 13645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. B )
24	13, 14, 15, 16, 17, 23	dvdsrmuld 13728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) )
25	1, 21	ringass 13648	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
26	18, 19, 20, 17, 25	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) Y ) = ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
27	24, 26	breqtrd 4060	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) )
28		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = ( x ( .r ` R ) Z ) )
29		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ( .r ` R ) Z ) = X -> ( x ( .r ` R ) Z ) = X )
30	28, 29	sylan9eq 2249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) = X )
31	30	breq2d 4046	. . . . . . 7 |- ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> ( Y .|| ( x ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) Y ) ) <-> Y .|| X ) )
32	27, 31	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( y e. B /\ x e. B ) ) -> ( ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
33	32	rexlimdvva 2622	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( E. y e. B E. x e. B ( ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
34	12, 33	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) -> Y .|| X ) )
35	34	expimpd 363	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( E. y e. B ( y ( .r ` R ) Y ) = Z /\ E. x e. B ( x ( .r ` R ) Z ) = X ) ) -> Y .|| X ) )
36	11, 35	sylbid 150	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X ) )
37	36	3impib 1203	1 |- ( ( R e. Ring /\ Y .|| Z /\ Z .|| X ) -> Y .|| X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   .rcmulr 12781  SRingcsrg 13595   Ringcrg 13628   ||_rcdsr 13718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-dvdsr 13721

This theorem is referenced by:  dvdsunit  13744  unitmulcl  13745  unitnegcl  13762