Theorem dvdsrneg 13203

Description: An element divides its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	|- B = ( Base ` R )
dvdsr.2	|- .|| = ( ||r ` R )
dvdsrneg.5	|- N = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrneg	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X .|| ( N ` X ) )

Proof of Theorem dvdsrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> B = ( Base ` R ) )
3		dvdsr.2	. . . 4 |- .|| = ( ||r ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
5		ringsrg 13155	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. SRing )
7		eqidd 2178	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
8		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X e. B )
9		ringgrp 13115	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
10		eqid 2177	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
11	1, 10	ringidcl 13134	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
12		dvdsrneg.5	. . . . . 6 |- N = ( invg ` R )
13	1, 12	grpinvcl 12853	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
14	9, 11, 13	syl2anc 411	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
16	2, 4, 6, 7, 8, 15	dvdsrmuld 13196	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X .|| ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) )
17		eqid 2177	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
18		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Ring )
19	1, 17, 10, 12, 18, 8	ringnegl 13159	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( N ` X ) )
20	16, 19	breqtrd 4028	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X .|| ( N ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   .rcmulr 12529   Grpcgrp 12809   invgcminusg 12810   1rcur 13073  SRingcsrg 13077   Ringcrg 13110   ||_rcdsr 13186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-cmn 13021  df-abl 13022  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-srg 13078  df-ring 13112  df-dvdsr 13189

This theorem is referenced by:  unitnegcl  13230