Theorem dvdsrneg 13602

Description: An element divides its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	|- B = ( Base ` R )
dvdsr.2	|- .|| = ( ||r ` R )
dvdsrneg.5	|- N = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrneg	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X .|| ( N ` X ) )

Proof of Theorem dvdsrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> B = ( Base ` R ) )
3		dvdsr.2	. . . 4 |- .|| = ( ||r ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> .|| = ( ||r ` R ) )
5		ringsrg 13546	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. SRing )
7		eqidd 2194	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
8		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X e. B )
9		ringgrp 13500	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
10		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
11	1, 10	ringidcl 13519	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
12		dvdsrneg.5	. . . . . 6 |- N = ( invg ` R )
13	1, 12	grpinvcl 13123	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
14	9, 11, 13	syl2anc 411	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( N ` ( 1r ` R ) ) e. B )
16	2, 4, 6, 7, 8, 15	dvdsrmuld 13595	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X .|| ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) )
17		eqid 2193	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
18		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Ring )
19	1, 17, 10, 12, 18, 8	ringnegl 13550	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( N ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( N ` X ) )
20	16, 19	breqtrd 4056	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X .|| ( N ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   .rcmulr 12699   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076   1rcur 13458  SRingcsrg 13462   Ringcrg 13495   ||_rcdsr 13585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-dvdsr 13588

This theorem is referenced by:  unitnegcl  13629