Theorem dvdsrneg 14067

Description: An element divides its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrneg.5	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrneg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem dvdsrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsr.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
5		ringsrg 14010	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
7		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
8		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ringgrp 13964	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
10		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	1, 10	ringidcl 13983	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
12		dvdsrneg.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
13	1, 12	grpinvcl 13581	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
14	9, 11, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
16	2, 4, 6, 7, 8, 15	dvdsrmuld 14060	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋))
17		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 17, 10, 12, 18, 8	ringnegl 14014	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
20	16, 19	breqtrd 4109	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  Basecbs 13032  ._rcmulr 13111  Grpcgrp 13533  inv_gcminusg 13534  1_rcur 13922  SRingcsrg 13926  Ringcrg 13959  ∥_rcdsr 14049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-cmn 13823  df-abl 13824  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-srg 13927  df-ring 13961  df-dvdsr 14052

This theorem is referenced by:  unitnegcl  14094